4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　离散型随机变量的方差

情境导入	课程标准
学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛。已知甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列如下表。 X 90 100 110 P 0.1 0.8 0.1 　 Y 95 100 105 P 0.3 0.4 0.3 经过计算甲、乙两名同学每分钟踢毽子的均值都是100个,那么能否确定选择哪名同学参赛呢?	1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念。 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题。 3.掌握方差的性质,以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差。

自主预习明新知

　

知识点一、离散型随机变量的方差

1.定义:如果离散型随机变量X的分布列如下表所示。

　　因为X的均值为E(X),所以D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=[xi-E(X)]2pi。

2.表示:离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示。

3.标准差:一般地,称为离散型随机变量X的标准差。

4.意义:离散型随机变量的方差、标准差能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)。

知识点二、离散型随机变量方差的性质

若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则

1.D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)。

2.D(c)=0(其中c为常数)。

知识点三、两点分布与二项分布的方差

1.若X服从参数为p的两点分布,则D(X)=p(1-p)。

2.若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)。

微提醒

　　离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量取值偏离期望的平均程度。方差或标准差越小,离散型随机变量取值偏离期望的平均程度就越小。

微思考

　　(1)D(X+b)=　　 　,(2)D(aX)=　　 　。 

提示:(1)当a=1时,D(X+b)=D(X),即离散型随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差。

(2)当b=0时,D(aX)=a2D(X),即离散型随机变量与常数的乘积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量的方差的乘积。

合作探究攻重难

　

类型一　随机变量的方差与标准差

　　【例1】　(1)已知随机变量X的分布列为

　　其中a,b,c满足2b=a+c,若E(X)=,则为 (B)

A. B.  C. D.

解析　由分布列得a+b+c=1　①,由数学期望E(X)=得-a+c=　②,由已知得2b=a+c　③,由①②③得a=,b=,c=,所以D(X)=×+×+×=,所以==。

　　(2)已知X的分布列为

　　若η=2X+2,则D(η)的值为 (D)

A.- B. C. D.

解析　E(X)=-1×+0×+1×=-,D(X)=×+×+×=,所以D(η)=D(2X+2)=4D(X)==。

　　求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定义求解,先求均值,再求方差。

(2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解。

(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列,然后转化成(1)中的情况。

(4)对于已知D(X)求D(aX+b)型,利用方差的性质求解,即利用D(aX+b)=a2D(X)求解。

【变式训练】　已知X的分布列如下,

　　(1)求X2的分布列;

(2)计算X的方差;

(3)若Y=4X+3,求Y的数学期望和方差。

解　(1)由分布列的性质,知++a=1,故a=,从而X2的分布列为

　　(2)由(1)知a=,所以X的数学期望E(X)=(-1)×+0×+1×=-。故X的方差D(X)=×+×+×=。

(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11。

类型二　两点分布与二项分布的方差

　　【例2】　某厂一批产品的合格率是98%。

(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差;

(2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差。(≈3.16,标准差保留小数点后两位)

解　(1)用ξ表示抽得的正品数,则ξ=0,1。ξ服从两点分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019 6。

(2)用X表示抽得的正品数,则X~B(10,0.98),所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196,标准差为≈0.44。

　　解此类问题,首先要确定正确的离散型随机变量,然后确定它是否服从特殊分布,若它服从两点分布,则其方差为p(1-p);若其服从二项分布,则其方差为np(1-p)(其中p为成功概率)。

【变式训练】　一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率是。

(1)求这位司机遇到红灯次数ξ的均值与方差;

(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间η的均值与方差。

解　(1)由题意知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布,且ξ~B,所以E(ξ)=6×=2,D(ξ)=6××=。

(2)由已知η=30ξ,所以E(η)=30E(ξ)=60,D(η)=900D(ξ)=1 200。

类型三　均值与方差的综合运用

　　【例3】　设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽到一个,并且取出后不再放回,若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数。

(1)求X的分布列、期望及方差;

(2)求Y的分布列、期望及方差。

解　(1)X的可能取值为0,1,2。若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=0)==,同理,有P(X=1)==,P(X=2)==。所以X的分布列为

　　所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=++=。

(2)Y的可能取值为1,2,3,显然X+Y=3。