4.1.2 乘法公式与全概率公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.1.2　乘法公式与全概率公式 情境导入 课程标准 　　王先生从家到公司有两条路可以选择,其中第一条路拥堵的概率是0.3,第二条路拥堵的概率是0.4,王先生选择第一条路的概率是0.7,选择第二条路的概率是0.3,那么王先生上班迟到的概率是多少?这个概率怎么计算呢? 1.掌握乘法公式并可以解决概率问题。 2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率。 自主预习明新知 　 知识点一、乘法公式 根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率。一般地,这个结论称为乘法公式。即P(BA)=P(A)P(B|A)。 知识点二、全概率公式 1.定义。 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,我们称P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)为全概率公式。 2.推广。 定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n。 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= =。上述公式也称为全概率公式。 知识点三、贝叶斯公式 1.定义。 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)==。这称为贝叶斯公式。 2.推广。 定理2　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n。 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有 P(Aj|B)==。上述公式也称为贝叶斯公式。 微提醒 　　贝叶斯公式实质是条件概率公式与全概率公式的结合:P(Ai|B)==。 微思考 　　设A1∪A2=Ω,B⊆Ω,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)吗? 提示:不一定正确,因为A1,A2不一定互斥。若A1,A2不互斥,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)-P(A1A2)P(B|A1A2)。 合作探究攻重难 　 类型一　乘法公式综合应用 　　【例1】　把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个。其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个。试验按如下两条规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,①若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;②若取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球,则称试验成功。求试验成功的概率。 解　设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},R={第二次取出的球是红球},W={第二次取出的球是白球},P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,P(W|A)=,P(R|B)=,P(W|B)=。事件“试验成功”表示为AR∪BR,又事件AR与事件BR互斥,故由概率的加法公式,得P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)P(B)=×+×=0.59。 　　本题P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR)=P(R|A)×P(A)+P(R|B)P(B)是互斥事件的加法公式与条件概率的进一步结合(实际上是下面要讲的全概率公式)。 【变式训练】　已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为 (C) A.75% B.96% C.72% D.79.125% 解析　记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-4%=96%。记“任选一件产品是一级品”为事件B。由于一级品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B)。由合格品中75%为一级品知P(B|A)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%×75%=72%。 类型二　全概率公式的应用 　　【例2】　已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率。 (1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2)合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。 解　(1)记B={该球是红球},A1={取自甲袋},A2={取自乙袋},由已知得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=。 (2)P(B)==。 　　应用全概率公式求概率的一般步骤 (1)把样本空间划分为若干个简单的互斥事件A1,A2,…,An。 (2)计算P(Ai)与P(B|Ai)的值。 (3)