3.3 第2课时 杨辉三角、二项式定理的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　杨辉三角、二项式定理的应用 情境导入 课程标准 杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡的发现。杨辉三角和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能。 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数。 2.运用二项式系数的性质解决问题。 自主预习明新知 　 知识点一、杨辉三角的性质 1.每一行都是对称的,且两端的数都是1。 2.从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和,即=+。 知识点二、二项式系数的特点 1.在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即=。 2.如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中间一项:的二项式系数最大,为。如果n是奇数,那么展开式中间两项与的二项式系数相等且最大,为,。 微思考 　　二项式系数与项的系数、项与项数的区别是什么? 提示:①二项展开式中的二项式系数是指,,…,这些组合数,即二项展开式的通项Tk+1=an-kbk中的,与a,b的取值无关,且是正数。 ②展开式中项的系数则是二项式系数与数字系数的积,项的系数未必是正数。如(2x-1)5的展开式中第2项的二项式系数是,而第2项的系数则是-24。 ③项是指项的系数和含字母的式子的积,项数是指该项在展开式中的位置。 合作探究攻重难 　 类型一　杨辉三角的相关问题 　　【例1】　在杨辉三角中,从第2行开始,除1以外,其他每一个数值是它肩上的两个数之和,这个三角形数阵的开头几行如图所示。 (1)证明:+=; (2)求证:第m斜列中(从右上到左下)的前k个数之和一定等于第m+1斜列中的第k个数,即++++…+=(m≥2,m,k∈N*); (3)在杨辉三角中是否存在某一行,该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由。 解　(1)证明:+=+=+== =。所以原式成立。 (2)证明:由(1)得+=。左边=++++…+=+++…+=…=+==右边,所以原命题成立。 (3)设在第n行的第r-1,r,r+1个数满足3∶8∶14,即∶∶=3∶8∶14,解得所以三个数依次为45,120,210。 　　解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系。 (2)然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解。 (3)注意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察。 【变式训练】　在探究“杨辉三角”中的一些秘密时,小明同学发现了一组有趣的数:+=3;++=8;+++=21;++++=55…,请根据上面数字的排列规律,写出下一组的规律并计算其结果: +++++=144 。  解析　观察等式左边表达式可知,下一组有六个式子相加,上标从5逐一递减至0,下标从6逐一递增至11。斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,故等式右边为3,8,21,55,144,由此可知下一组为+++++= 144。 类型二　求展开式中的系数和 　　【例2】　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2。 解　(1)令x=0,则a0=2100。 (2)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100①,故a1+a2+…+a100=(2-)100-2100。 (3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=②。联立①②可得a1+a3+…+a99=。 (4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)×(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2-)(2+)]100=1100=1。 　　【互动探究】　例2条件不变,求|a0|+|a1|+…+|a100|的值。 解　解法一:(2-x)100展开式的通项为Tr+1=(-1)r2100-r×()rxr,则ar=(-1)r2100-r()r(r=0,1,2,…,100),故a2k-1<0(k∈N*且k≤50),所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100。 解法二:问题等价于求解(2+x)100展开式中各项系数的和。令x=1,则原式=(2+)100。 　　(1)若f(x)=(x+a)n=a0xn+a1xn-1+…+an,则f(x)展开式中各