3.3 第1课时 二项式定理、二项式系数的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理、二项式系数的性质 情境导入 课程标准 　　艾萨克·牛顿(1643—1727),英国科学家。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,还是一位伟大的数学家。1664年冬,由于瘟疫流行,牛顿从剑桥回到乡下,研读沃利斯博士的《无穷算术》,开始了对二项式定理的研究,并最终建立了二项式定理。牛顿是如何思考的呢? 1.理解用组合知识推导二项式定理。 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式。 3.灵活运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 自主预习明新知 　 知识点一、二项式定理 1.定义:一般地,当n是正整数时,有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+ bn(n∈N*),这个公式称为二项式定理。 2.二项展开式:an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)称为(a+b)n的展开式。 3.二项式系数:各项系数(k=0,1,2,…,n)称为第k+1项的二项式系数。 知识点二、二项展开式的通项公式 (a+b)n共有n+1项,其中an-kbk是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示),将Tk+1=an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项展开式的通项公式。 知识点三、二项式系数的性质 1.在二项式定理中,如果令a=1,b=1,则得到公式2n=+++…++…+。 2.在二项式定理中,如果令a=1,b=-1,则得到公式0=-+-+-+…,也就是说+++…=+++…=2n-1。 微提醒 　　(1)二项展开式的通项公式表示展开式的第k+1项,该项的二项式系数是,而不是。 (2)字母b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和为n。 微思考 　　二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 提示:注意二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念。二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关。 合作探究攻重难 类型一　二项式定理的应用 　　【例1】　(1)+2+22+…+29的值为 (D) A.3×210 B.310 C. D. 解析　因为(1+2)10=+2+22+23+…+210=+2(+2+22+…+29),所以+2+22+…+29=。 (2)求的展开式。 解　=+(-2y)+(-2y)2+(-2y)3+(-2y)4+(-2y)5=-x4y+5x3y2-20x2y3+40xy4-32y5。 　　(1)(a+b)n的展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:①各项的次数和等于n;②字母a按降幂排列,从第1项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第1项起,次数由0逐项加1直到n。 (2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想。注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢。 【变式训练】　(1)若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b= 44 。  解析　因为(1+)4=1+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16,所以a=28,b=16,所以a+b=28+16=44。 (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)。 解　原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1。 类型二　二项展开式通项的应用 　　【例2】　在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列。 (1)求展开式的第4项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中所有的有理项。 解　Tr+1=()n-r=。由前三项系数的绝对值成等差数列,得+=2×,解得n=8或n=1(舍去)。 (1)展开式的第4项为T4==-7。 (2)当-r=0,即r=4时,常数项为=。 (3)令-r∈Z且0≤r≤8,则r=1,4,7,所有的有理项分别为T2=-4x2,T5=,T8=-x-2。 　　求(a+b)n展开式的特定项的常见题型及处理措施 (1)求第k项,Tk=an-k+1bk-1。 (2)求常数项。对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项)。 (3)求有理项。对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项。解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解。 (4)求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致。 【变式训练】　(1)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 60 。  解析　二项展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,当r=2时,x2的系数为(