3.1.3 第2课时组合数的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　组合数的应用 情境导入 课程标准 　　小明五一到某城旅游,要从景点A,B,C,D中选择2处游玩,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢?这就是今天我们所要学习的组合数问题。 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题。 2.能解决有限制条件的组合问题。 自主预习明新知 　 知识点一、有限制条件的组合问题的常见类型 1.解决所选取的组合中“含”与“不含”某个对象的问题,通常用直接法,合理分类。 2.解决“至多”或“至少”问题,通常用间接法,也可以用直接法,合理分类。 3.解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽取组合问题,寻找一个组合的模型加以处理。 知识点二、解答有限制条件的组合应用题时的基本方法 “直接法”和“间接法”(排除法)。 1.用直接法求解时,应坚持“特殊对象优先选取”“特殊位置优先安排”的原则,优先安排特殊对象,再安排其他对象。 2.选择间接法的原则是“正难则反”,也就是当正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时,不妨从反面入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此。此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。 知识点三、排列与组合的综合应用题的一般解法 排列与组合的综合应用题的背景丰富,无特定模式和规律可循,因此,应认真审题,把握其本质特征,将其化归为排列、组合的常规模型来求解,其一般解法是先组合后排列,即先选对象后排列,同时注意按对象的性质分类或按事情的发生过程分步。 合作探究攻重难 　 类型一　有限制条件的组合问题 　　【例1】　高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动。 (1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种? (2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种? (3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种? (4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种? (5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种? 解　(1)从余下的34名学生中选取2名,有=561(种)。所以不同的选法有561种。 (2)从34名可选学生中选取3名,有种。或者-==5 984种。所以不同的选法有5 984种。 (3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有=2 100种。所以不同的选法有2 100种。 (4)选取2名女生有种,选取3名女生有种,共有选取方法N=+=2 100+455=2 555种。所以不同的选法有2 555种。 (5)选取3名的总数有,至多有2名女生在内的选取方法共有N=-=6 545-455=6 090种。所以不同的选法有6 090种。 　　有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类 (1)“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指对象去掉再取,分步计数。 (2)“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏。 【变式训练】　从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求小张和小王两人至多有一个人参加,则不同选法的种数为 (A) A.9 B.14 C.12 D.15 解析　解法一(直接法):分两类。第一类:小张、小王两人都不参加,选法有=1(种);第二类:小张、小王两人只有1人参加,选法有=8(种)。故选法共有1+8=9(种)。 解法二(间接法):不同选法共有-=9(种)。 类型二　分组分配问题 　　命题方向1:不同对象分组分配问题 　　【例2】　要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学: (1)如果每个人都得3本,则共有不同的分法多少种? (2)如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则共有不同的分法多少种? (3)分成三组每组都是3本,则共有不同的分法多少种? (4)如果要求一人得2本,一人得2本,一人得5本,则共有不同的分法多少种? 解　(1)要完成分配任务,可以分为三步:第一步,分给甲3本书,有种方法;第二步,分给乙3本书,因为只能在剩下的6本书里选,所以有种方法;第三步,分给丙3本书,因为只能在剩下的3本书里选,所以有种方法。因此共有不同的分法种数为=××1=1 680。 (2)要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本、3本、2本分为三组,有种方法;第二步,将分好的3组书分别分给3个人,有种方法。因此共有不同的分法种数为=××1×3×2×1=7 560。 (3)分给甲、乙、丙三人,每人三本有种方法。这个过程中可以分两步完成:第一步,分为三份,每份三本,设有x种方法;第二步,再将这三份分