3.1.1 第2课时基本计数原理的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　基本计数原理的应用 情境导入 课程标准 　　随着人们生活水平的提高,车辆拥有量迅速增长,汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求,再加上许多车主还希望车牌号“个性化”,因此,汽车号码需要进行扩容,这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数,号码的个数是如何进行计算的呢?要解决这个问题,就要综合运用两个计数原理进行运算。 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别。 2.能灵活应用这两个计数原理解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 知识点二、两个计数原理的实际应用 在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同时应用两个计数原理,即分类时,每类的方法数可能要运用分步完成;分步时,每步的方法数可能会采取分类的思想解决。另外,具体问题是先分类后分步,还是先分步后分类,应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉使用,分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步。 微提醒 　　在解决计数问题时,先分析是需要分类还是需要分步,分类应满足:完成一件事的任何一种方法必属于且仅属于其中某一类,即“类”与“类”之间满足确定性与并列性。分步应满足:完成一件事必须且只需连续完成所有步骤,注意“步”与“步”之间的连续性。 合作探究攻重难 　 类型一　数字问题 　　【例1】　用0,1,2,3,4,5六个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解　(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有6种排法,共有6×6×6=63=216(个)。 (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有5种方法,第二、三位可以排0,因此,共有5×6×6=180(个)。 (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有5×4=20(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有4种排法,十位有4种排法,因此有2×4×4=32(种)排法。因而共有20+32=52(种)排法。即可以排成52个能被2整除的无重复数字的三位数。 　　【互动探究】由本例中的六个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数? 解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3,5中任取一个,有3种方法;第二步定首位,从1,2,3,4,5中除去用过的一个剩下的4个中任取一个,有4种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的4个数字先排百位有4种方法,再排十位有3种方法。由分步乘法计数原理知共有3×4×4×3=144(个),无重复数字的四位奇数。 　　对于组数问题,应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊对象)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解。 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位。 【变式训练】　用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 (B) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 解析　①首位为5,末位为0:4×3×2=24(个);②首位为5,末位为2:4×3×2=24(个);③首位为5,末位为4:4×3×2=24(个);④首位为4,末位为0:4×3×2=24(个);⑤首位为4,末位为2:4×3×2=24(个)。共24×5=120(个)。 类型二　涂色及种植问题 　　【例2】　(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有 (B) A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 解析　由题知,黄瓜必须种植,所以黄瓜可以选择种在不同的3块土地上,所以在白菜、油菜、扁豆中要选择2种进行种植,共有3×2=6(种),所以总共的可能性有6×3=18(种)。 (2)如图所示,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同的颜色给这四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有 260 种不同的涂色方法。  解析　区域A有5种涂色方