3.1.1 第1课时分类加法计数原理、分步乘法计数原理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

　　▶导语:通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题。能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 要点精准概括 2个基本原理:分类加法计数原理,分步乘法计数原理 2个重要概念:排列,组合 1个重要定理:二项式定理 3个重要公式:排列数公式,组合数公式,二项展开式的通项公式 2个重要性质:组合数的性质,二项式系数的性质 5个重要方法:元素分析法,捆绑法,插空法,隔板法,赋值法 第三章　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　分类加法计数原理、分步乘法计数原理 情境导入 课程标准 　　 某人要从济南前往北京参加会议,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁。假如当天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘,那么他从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢? 要解决这个问题,就要运用有关排列、组合的知识。在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这节课,我们来学习这两个原理。 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 2.能利用两个原理解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、分类加法计数原理 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 知识点二、分步乘法计数原理 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 微提醒 　　(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事。 (2)怎样才算完成这件事。 (3)完成这件事可以有哪些方法。 微思考 　　在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同吗? 提示:在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这一步骤的方法均不相同,若相同,只能算是一种方法。 合作探究攻重难 　 类型一　分类加法计数原理 　　【例1】　某校高三年级共有3个班,各班人数如下表: 男生数 女生数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 　　(1)从3个班的学生中选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 解　(1)从3个班的学生中选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案:第一类,从高三(1)班的学生中选出1名学生,有50种不同的选法;第二类,从高三(2)班的学生中选出1名学生,有60种不同的选法;第三类,从高三(3)班的学生中选出1名学生,有55种不同的选法。根据分类加法计数原理,从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席,不同的选法共有50+60+55=165(种)。 (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案:第一类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第二类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第三类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法。根据分类加法计数原理,从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同的选法共有30+30+20=80(种)。 　　应用分类加法计数原理解题的策略 (1)标准明确:明确分类标准,依次确定完成一件事的各类方法。 (2)不重不漏:弄清完成这件事的所有方法,既不能重复,也不能遗漏。 (3)方法独立:确定的每一种方法必须能独立完成这件事。 【变式训练】　若x,y∈N*且x+y≤6,试求有序实数对(x,y)的个数。 解　按x的取值进行分类:当x=1时,y=1,2,3,4,5,共构成5个有序实数对;当x=2时,y=1,2,3,4,共构成4个有序实数对;当x=3时,y=1,2,3,共构成3个有序实数对;当x=4时,y=1,2,共构成2个有序实数对;当x=5时,y=1,共构成1个有序实数对。根据分类加法计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15(个)有序实数对。 类型二　分步乘法计数原理 　　【例2】　在平面直角坐标系内,若点P(x,y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值,则可以组成多少个不同的点P? 解　确定点P的坐标必须分两步,即分步确定点P的横坐标与纵坐标。第一步,确定横坐标,从0,