课时达标检测(23) 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十三)　用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 基础达标 一、单项选择题 1.已知函数f (x)(x∈R)满足f (1)=1,且f '(x)<,则f (x)<+的解集为 (D) A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1} 解析　构造函数h(x)=f (x)--,则h'(x)=f '(x)-<0,故h(x)在R上单调递减,且h(1)=f (1)--=0,故h(x)<0的解集为{x|x>1}。 2.设函数f '(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f (x)<0,则使得f (x)>0成立的x的取值范围是 (A) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 解析　构造函数h(x)=,因为f (x)为奇函数,所以h(x)为偶函数,又因为h'(x)=,且当x>0时,xf '(x)-f (x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,根据对称性知h(x)在(-∞,0)上单调递增,又f (-1)=0,所以f (1)=0,数形结合可知,使得f (x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1)。 3.已知函数f (x)的定义域为R,f '(x)为f (x)的导函数,且f (x)+(x-1)f '(x)>0,则 (C) A.f (1)=0 B.f (x)<0 C.f (x)>0 D.(x-1)f (x)<0 解析　令g(x)=(x-1)f (x),则g'(x)=f (x)+(x-1)f '(x)>0,所以g(x)在R上是增函数,又因为g(1)=0,所以当x>1时,g(x)=(x-1)f (x)>0;当x<1时,g(x)=(x-1)f (x)<0,所以当x≠1时,f (x)>0,又f (1)+(1-1)f '(1)=f (1)>0,所以ABD错误,C正确。 4.已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)<-f '(x),则下列式子成立的是 (A) A.f (2 022)>ef (2 023) B.f (2 022)<ef (2 023) C.ef (2 022)>f (2 023) D.ef (2 022)<f (2 023) 解析　依题意,得f (x)+f '(x)<0,令g(x)=exf (x),则g'(x)=ex[f (x)+f '(x)]<0在R上恒成立,所以函数g(x)=exf (x)在R上单调递减,所以g(2 022)>g(2 023),即e2 022f (2 022)>e2 023f (2 023)⇒f (2 022)>ef (2 023)。 5.已知函数f (x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f (x0)≤0有解,则实数a的取值范围是 (C) A.(2,+∞) B.(-∞,3) C.(-∞,1] D.[3,+∞) 解析　函数f (x)的定义域是(0,+∞),不等式-1+ln x≤0有解,即a≤x-xln x在(0,+∞)上有解。令h(x)=x-xln x,则h'(x)=-ln x。由h'(x)=0,得x=1。当0<x<1时,h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0。故当x=1时,函数h(x)=x-xln x取得最大值1,所以要使不等式a≤x-xln x在(0,+∞)上有解,只要a≤h(x)max即可,即a≤1。 二、填空题 6.若函数y=-x3+ax在[1,+∞)上是单调函数,则a的最大值是 3 。  解析　y'=-3x2+a,由题意,得-3x2+a≤0在区间[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在区间[1,+∞)上恒成立,据此可得a≤3,即a的最大值是3。 7.设函数f '(x)是定义在(0,π)上的函数f (x)的导函数,有f '(x)cos x-f (x)sin x>0,若a=f ,b=0,c=-f ,则a,b,c的大小关系是 a<b<c 。  解析　设函数g(x)=f (x)cos x(0<x<π),则g'(x)=f '(x)cos x-f (x)sin x,因为f '(x)cos x-f (x)sin x>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,π)上单调递增,a=f =f cos=g,b=0=f cos=g,c=-f =f cos=g,所以a<b<c。 8.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,f (1)=0,当x>0时,有>0,则不等式x2f (x)>0的解集是 (-1,0)∪(1,+∞) 。  解析　令g(x)=(x≠0),则g'(x)=。因为当x>0时,>0,即g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增。又f (1)=0,所以g(1)=f (1)=0,所以在(0,