课时达标检测(22) 导数的应用问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十二)　导数的应用问题 基础达标 一、单项选择题 1.函数f (x)=x3-12x-16的零点个数为 (C) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由题意,得f '(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f '(x)>0,得x>2或x<-2;令f '(x)<0,得-2<x<2,所以函数的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调递减区间为(-2,2),所以函数的极大值为f (-2)=0,极小值为f (2)=-32,当x→-∞时,f (x)<0,当x→+∞时,f (x)>0,所以函数的零点个数为2。 2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米) (A) A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18 解析　要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-。令L'=0,得x=16或x=-16(舍去)。此时长为=32(米),可使L最短。 3.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,若容器底面的长比宽多0.5 m,要使它的容积最大,则容器底面的宽为 (C) A.0.5 m B.0.7 m C.1 m D.1.5m 解析　设宽为x m,则长为(x+0.5)m,因为总长为14.8 m,所以高为(3.2-2x)m,0<x<1.6,所以体积V=x(0.5+x)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,V'=-6x2+4.4x+1.6,令V'=0,得x=1(负值舍去)。当x=1时,V有极大值亦为最大值。 4.做一个容积为256的方底无盖水箱,则最省材料时,它的高为 (A) A.4 B.6 C.4.5 D.8 解析　设底面边长为x,高为h,则体积V(x)=x2·h=256,所以h=,所以用料面积S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+(x>0),所以S'(x)=2x-。令S'(x)=0,解得x=8,所以h==4。 5.设函数f (x)的导函数为f '(x),若f (x)为偶函数,且在(0,1)上存在极大值,则f '(x)的图象可能为 (C) 解析　根据题意,f (x)为偶函数,则其导数f '(x)为奇函数,结合函数图象可以排除B,D。又由于函数f (x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点,且零点左侧导数值符号为正,右侧导数值符号为负,结合选项可以排除A,只有C选项符合题意,故选C。 6.若函数f (x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 (B) A.,+∞ B.0, C.(0,4e2) D.(0,+∞) 解析　令g(x)=x2ex,则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2)。令g'(x)=0,得x=0或x=-2,所以g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增。所以g(x)极大值=g(-2)=,g(x)极小值=g(0)=0,又f (x)=x2ex-a恰有三个零点,则0<a<。 二、多项选择题 7.已知函数f (x)=,则下列结论正确的是 (ABC) A.函数f (x)存在两个不同的零点 B.函数f (x)既存在极大值又存在极小值 C.当-e<k<0时,方程f (x)=k有且只有两个实根 D.若x∈[t,+∞)时,f (x)max=,则t的最小值为2 解析　A项,由f (x)=0,得x2+x-1=0,解得x=,所以A正确;B项,f '(x)=-=-,当f '(x)>0时,-1<x<2;当f '(x)<0时,x<-1或x>2,所以函数f (x)的单调递减区间为(-∞,-1),(2,+∞),函数f (x)的单调递增区间为(-1,2),所以f (-1)是函数的极小值,f (2)是函数的极大值,所以B正确;C项,当x趋向于+∞时,f (x)趋向于0,根据B项可知,函数的最小值是f (-1)=-e,x→-∞时,f (x)→+∞,再根据单调性可知,当-e<k<0时,方程f (x)=k有且只有两个实根,所以C正确;D项,由图象可知,t的最大值是2,所以D不正确。 8.设x3+ax+b=0(a,b∈R),下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的有 (BCD) A.a=-3,b=2 B.a=-3,b=-3 C.a=-3,b>2 D.a=1,b=2 解析　记f (x)=x3+ax+b,那么f '(x)=3x2+a。当a≥0时,f '(x)≥0,f (x)单调递增,必有一实根,D项满足题意;当a<0时,由于选项中只有a=-3,故只考虑a=-3即可,此时f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故x∈(-∞,-1)