课时达标检测(21) 函数的最大(小)值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十一)　函数的最大(小)值 基础达标 一、单项选择题 1.函数f (x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是 (C) A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 解析　f '(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f '(x)=0,得x=±1。又f (-3)=-27+9+1=-17,f (0)=1,f (-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0]。所以函数f (x)的最大值为3,最小值为-17。 2.函数f (x)=x+2cos x在区间-,0上的最小值是 (A) A.- B.2 C.+ D.+1 解析　f '(x)=1-2sin x,因为x∈-,0,所以sin x∈[-1,0],所以-2sin x∈[0,2]。所以f '(x)=1-2sin x>0在-,0上恒成立。所以f (x)在-,0上单调递增。所以f (x)min=-+2cos-=-。 3.函数f (x)=的最大值为 (B) A. B. C.e D.0 解析　由题得f '(x)==(x>0)。令f '(x)>0,解得0<x<,令f '(x)<0,解得x>,所以函数f (x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞),所以函数f (x)=的最大值为f ()==。故选B。 4.已知函数f (x),g(x)均为[a,b]上的连续可导函数,且f '(x)<g'(x),则f (x)-g(x)的最大值为 (A) A.f (a)-g(a) B.f (b)-g(b) C.f (a)-g(b) D.f (b)-g(a) 解析　令F (x)=f (x)-g(x),因为f '(x)<g'(x),所以F '(x)=f '(x)-g'(x)<0,所以F (x)在[a,b]上单调递减,所以F (x)max=F (a)=f (a)-g(a)。故选A。 5.已知f (x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是 (A) A.-37 B.-29 C.-5 D.-3 解析　因为f '(x)=6x2-12x=6x(x-2),所以f (x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,所以当x=0时,f (0)=m最大,所以m=3。因为f (-2)=-37,f (2)=-5,所以最小值为-37。 6.函数f (x)=x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为[1,+∞),并且函数f (x)的图象始终在函数g(x)图象的上方,那么a的取值范围是 (A) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.-,+∞ D.-∞,- 解析　设h(x)=f (x)-g(x)=x3-2x2+3x+a,则h'(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),所以当x∈(1,3)时,h(x)单调递减;当x∈(3,+∞)时,h(x)单调递增。当x=3时,函数h(x)取得最小值。因为f (x)的图象始终在g(x)的图象上方,则有h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范围是(0,+∞)。 二、多项选择题 7.已知f (x)=x2-cos x,x∈[-1,1],则导函数f '(x)是 (AD) A.奇函数 B.偶函数 C.仅有最大值 D.既有最大值又有最小值 解析　f '(x)=2x+sin x,则f '(-x)=-2x-sin x=-f '(x),所以导函数f '(x)是奇函数,令h(x)=f '(x),则h'(x)=2+cos x>0,所以f '(x)在[-1,1]上单调递增,故f '(x)min=f '(-1),f '(x)max=f '(1),所以f '(x)既有最大值又有最小值。故选AD。 8.下列关于函数f (x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 (ABC) A.f (x)>0的解集是{x|0<x<2} B.f (-)是极小值,f ()是极大值 C.f (x)无最小值,有最大值 D.f (x)有最小值,无最大值 解析　由f (x)>0,得0<x<2,故A正确。f '(x)=(2-x2)ex,令f '(x)=0,得x=±,当x<-或x>时,f '(x)<0,当-<x<时,f '(x)>0,所以当x=-时,f (x)取得极小值,当x=时,f (x)取得极大值,故B正确。当x→-∞时,f (x)<0,当x→+∞时,f (x)<0,且f ()>0,结合函数的单调性可知,函数f (x)有最大值无最小值,故C正确,D不正确。 三、填空题 9.函数f (x)=x3+x2-2x+3,x∈[-3,4]的最大值为  ,最小值为  。  解析　f '(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),令f '(x)=0,得x=1或x=-2。因为f (-3)=,f (-2)=,f (1)=