课时达标检测(20) 函数的极值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二十)　函数的极值 基础达标 一、单项选择题 1.下列函数中存在极值的是 (B) A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 解析　对于y=x-ex,y'=1-ex,令y'=0,得x=0。在区间(-∞,0)上,y'>0;在区间(0,+∞)上,y'<0。故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值。 2.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 (D) A.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (1) C.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (-2) D.函数f (x)有极大值f (-2)和极小值f (2) 解析　由题图可知,当x<-2时,f '(x)>0;当-2<x<1时,f '(x)<0;当1<x<2时,f '(x)<0;当x>2时,f '(x)>0。由此可以得到函数f (x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值。 3.函数f (x)=ln x-x在区间(0,e)上的极大值为 (B) A.-e B.-1 C.1-e D.0 解析　函数f (x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=-1。令f '(x)=0,得x=1。当x∈(0,1)时,f '(x)>0,当x∈(1,e)时,f '(x)<0,故f (x)在x=1处取得极大值f (1)=ln 1-1=0-1=-1。 4.已知函数f (x)=2ln x+ax在x=1时取得极值,则实数a= (A) A.-2 B.2 C.0 D.1 解析　f '(x)=+a,若f (x)在x=1时取得极值,则f '(1)=2+a=0,解得a=-2。 5.已知f (x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 (C) A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析　f '(x)=3x2+2ax+a+6,因为f (x)有极大值与极小值,所以f '(x)=0有两个不等实根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,所以a<-3或a>6。故选C。 6.若函数f (x)=x3-1+x2+2bx在区间[-3,1]上不是单调函数,则函数f (x)在R上的极小值为 (A) A.2b- B.b- C.0 D.b2-b3 解析　f '(x)=x2-(2+b)x+2b=(x-b)(x-2),因为函数f (x)在区间[-3,1]上不是单调函数,所以-3<b<1,则由f '(x)>0,得x<b或x>2;由f '(x)<0,得b<x<2,所以函数f (x)的极小值为f (2)=2b-。 二、多项选择题 7.下列函数中,存在极值点的是 (BD) A.y=x- B.y=2|x| C.y=-2x3-x D.y=xln x 解析　对于A,求导得y'=1+>0,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,所以函数无极值点;对于B,x=0是函数的极小值点;对于C,求导得y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于D,求导得y'=1+ln x,当x∈0,时,y'<0;当x∈,+∞时,y'>0;当x=时,y'=0,所以x=是函数的极小值点。 8.定义在R上的函数f (x),已知x0(x0≠0)是它的极大值点,则以下结论正确的是 (AD) A.-x0是f (-x)的一个极大值点 B.-x0是-f (x)的一个极小值点 C.x0是-f (x)的一个极大值点 D.-x0是-f (-x)的一个极小值点 解析　x0(x0≠0)是f (x)的极大值点,就是存在正数m,使得在(x0-m,x0)上,f '(x)>0,在(x0,x0+m)上,f '(x)<0。设g(x)=f (-x),g'(x)=-f '(-x),当-x0<x<-x0+m时,x0-m<-x<x0,f '(-x)>0,g'(x)<0,同理-x0-m<x<-x0时,g'(x)>0,所以-x0是f (-x)的一个极大值点,从而-x0是-f (-x)的一个极小值点,x0是-f (x)的一个极小值点。不能判定-x0是不是-f (x)的极值点。 三、填空题 9.函数y=的极大值为 1 ,极小值为 -1 。  解析　y'=,令y'>0得-1<x<1,令y'<0得x>1或x<-1,所以当x=-1时,函数取极小值-1,当x=1时,函数取极大值1。 10.已知曲线f (x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f (1))处的切线斜率为3,且是y=f (x)的极值点,则a+b= -2 。  解析　因为f '(x)=3x2+2ax+b, 所以即解得a=2,b=-4,所以a+b=2-4=-2。 11.若函数y=x3-3a