课时达标检测(19) 函数单调性的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十九)　函数单调性的应用 基础达标 一、单项选择题 1.设函数f (x)=2x+sin x,则 (B) A.f (1)>f (2) B.f (1)<f (2) C.f (1)=f (2) D.以上都不正确 解析　f '(x)=2+cos x>0,故f (x)是R上的增函数,故f (1)<f (2)。 2.已知函数f (x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是 (B) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-,] C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-,) 解析　f '(x)=-3x2+2ax-1,由题意可知f '(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,所以(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤。 3.若f (x)=x3-ax2+4在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 (A) A.[3,+∞) B.{a|a=3} C.(-∞,3] D.(0,3) 解析　f '(x)=3x2-2ax,因为f (x)在(0,2)上单调递减,所以所以所以a≥3。 4.已知函数f (x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上单调递增,则a= (B) A.1 B.2 C.0 D. 解析　因为函数f (x)=x2-ax+3在(0,1)上单调递减,所以≥1,得a≥2。g'(x)=2x-,依题意得g'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立,有a≤2,所以a=2。 5.若函数f (x)=cos x+2xf ',则f -与f 的大小关系是 (C) A.f -=f B.f ->f C.f -<f D.不确定 解析　依题意得f '(x)=-sin x+2f ',所以f '=-sin+2f ',所以f '=。因为f '(x)=-sin x+1≥0,所以f (x)=cos x+x是R上的增函数,注意到-<,于是有f -<f 。 6.设f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f '(x)g(x)+f (x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f (x)g(x)<0的解集是 (D) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 解析　当x<0时,[f (x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f (x)g'(x)>0,令F(x)=f (x)g(x),则当x<0时, F (x)单调递增。因为f (x)为奇函数,g(x)为偶函数, 所以F (-x)=f (-x)g(-x)=-f (x)g(x)=- F (x),所以F (x)为奇函数。故当x>0时,f (x)单调递增。根据F(x)=f (x)g(x)的性质,可作出F (x)的示意图。所以f (x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3)。 二、多项选择题 7.设f '(x)是函数f (x)的导函数,将y=f (x)和y=f '(x)的图象画在同一个直角坐标系中,下列选项可能成立的是 (ABC) 解析　检验易知A,B,C均适合,D选项y=f (x)和y=f '(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样的函数,故选ABC。 8.已知函数f (x)=xln x,若0<x1<x2,则下列结论正确的是 (AD) A.x2f (x1)<x1f (x2) B.x1+f (x1)<x2+f (x2) C.<0 D.当ln x>-1时,x1f (x1)+x2f (x2)>2x2f (x1) 解析　对于A,令g(x)==ln x,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x1)<g(x2),即<,所以x2f (x1)<x1f (x2),故A正确;对于B,令h(x)=x+f (x)=x+xln x,则h'(x)=1+ln x+1=2+ln x,当x∈(0,e-2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以x1+f (x1)<x2+f (x2)不恒成立,故B错误;对于C,f '(x)=ln x+1,当x∈(0,e-1)时,f '(x)<0,f (x)单调递减,当x∈(e-1,+∞)时,f '(x)>0,f (x)单调递增,所以<0不恒成立,故C错误;对于D,当x∈(e-1,+∞),即ln x>-1时,f (x)单调递增,由e-1<x1<x2得f (x2)>f (x1),所以x1[f (x1)-f (x2)]-x2[f (x1)-f (x2)]=(x1-x2)[f (x1)-f (x2)]>0,则x1f (x1)+x2f (x2)>x1f (x2)+x2f (x1),由选项A我们求得了x2f (x1