课时达标检测(18) 导数与函数的单调性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十八)　导数与函数的单调性 基础达标 一、单项选择题 1.函数y=f (x)的图象如图所示,则 (B) A.f '(3)>0 B.f '(3)<0 C.f '(3)=0 D.f '(3)的符号不确定 解析　由图象可知,函数f (x)在(1,5)上单调递减,则在(1,5)上有f '(x)<0,所以f '(3)<0。 2.函数f (x)=5x2-2x的单调递减区间是 (B) A.,+∞ B.-∞, C.-,+∞ D.-∞,- 3.函数f (x)=x++2ln x的单调递减区间是 (B) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-1,3) D.(0,3) 解析　函数f (x)的定义域是(0,+∞),f '(x)=1-+=,由f '(x)<0及x>0,得0<x<1,故函数f (x)的单调递减区间是(0,1)。故选B。 4.若函数f (x)的导函数f '(x)=x2-4x+3,则函数f (x+1)的单调递减区间是 (D) A.(2,4) B.(-3,-1) C.(1,3) D.(0,2) 解析　由f '(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)知,当x∈(1,3)时,f '(x)<0。函数f (x)在(1,3)上为减函数,函数f (x+1)的图象是由函数y=f (x)图象向左平移1个单位长度得到的,所以(0,2)为函数y=f (x+1)的单调递减区间。 5.设函数f (x)在定义域内可导,y=f (x)的图象如图所示,则其导函数y=f '(x)的图象可能是 (D) 解析　由函数y=f (x)的图象,知当x<0时,f (x)单调递减;当x>0时,f (x)先递增,再递减,最后再递增,分析知y=f '(x)的图象可能为D。 6.已知函数y=xf '(x)的图象如图所示,则y=f (x)的图象可能是 (C) 解析　由函数y=xf '(x)的图象可知:当x<-1时,xf '(x)<0,则f '(x)>0,此时f (x)单调递增;当-1<x<0时,xf '(x)>0,则f '(x)<0,此时f (x)单调递减;当0<x<1时,xf '(x)<0,则f '(x)<0,此时f (x)单调递减;当x>1时,xf '(x)>0,则f '(x)>0,此时f (x)单调递增。故选C。 二、多项选择题 7.已知定义在R上的函数f (x),其导函数y=f '(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 (ABD) A.f (b)>f (a) B.f (d)>f (e) C.f (a)>f (d) D.f (c)>f (e) 解析　由题图可得,当x∈(-∞,c)∪(e,+∞)时,f '(x)>0,当x∈(c,e)时,f '(x)<0,故f (x)在(-∞,c),(e,+∞)上单调递增,在(c,e)上单调递减,所以f (b)>f (a),f (d)>f (e),f (c)>f (e)。 8.若函数exf (x)(e=2.718 28……是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增,则称函数f (x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 (AB) A.f (x)=2-x B.f (x)=x2+2 C.f (x)=3-x D.f (x)=cos x 解析　设g(x)=exf (x),对于A,g(x)=ex·2-x=x在定义域R上是增函数,故A正确;对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;对于C,g(x)=ex·3-x=x在定义域R上是减函数,C不正确;对于D,g(x)=ex·cos x,则g'(x)=excosx+,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,D不正确。 三、填空题 9.函数y=的单调递减区间是 (-∞,0),(0,1) 。  解析　函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y'==,令y'<0得x<1,且x≠0,故函数的单调递减区间是(-∞,0),(0,1)。 10.函数f (x)=(a>0)的单调递增区间是 (-1,1) 。  解析　f '(x)=(a>0),令f '(x)>0,解得-1<x<1,故f (x)的单调递增区间是(-1,1)。 11.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 (0,+∞) 。  解析　y'=-x2+a,若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不相等的实根,故a的取值范围是(0,+∞)。 四、解答题 12.判断函数f (x)=2x(ex-1)-x2的单调性。 解　函数f (x)的定义域为R,f '(x)=2(ex-1+xex-x)=2(ex-1)(x+1)。当x∈(-∞,-1)时,f '(x)>0;当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,+