课时达标检测(17) 简单复合函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十七)　简单复合函数的导数 基础达标 一、单项选择题 1.设f (x)=log3(x-1),则f '(2)= (C) A.ln 3 B.-ln 3 C. D.- 解析　f '(x)=,故f '(2)=。 2.已知函数f (x)=sin22x,则f '= (A) A.0 B. C. D. 解析　由已知可得f '(x)=4sin 2x·cos 2x=2sin 4x,所以f '=2sin π=0。故选A。 3.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= (D) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　令f (x)=ax-ln(x+1),所以f '(x)=a-。由题意,得f '(0)=2,解得a=3。 4.函数f (x)=的导函数为 (B) A.f '(x)=2e2x B.f '(x)= C.f '(x)= D.f '(x)= 解析　f '(x)===。故选B。 5.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线的斜率为 (C) A.2e B.e C.2 D.1 解析　y'=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线的斜率为y'|x=1=2。 6.若曲线y=e-x+2在点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是 (B) A. B.(-ln 2,4) C.(0,3) D.(-1,e+2) 解析　因为y'=,y'P==-2,所以=,所以xP=ln=-ln 2,yP=4,所以点P的坐标为(-ln 2,4)。 二、多项选择题 7.下列结论中不正确的是 (ACD) A.若y=cos,则y'=-sin B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y'=-sin 5x D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x 解析　对于A,y=cos,则y'=sin,故错误;对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故错误。 8.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为,则直线l的方程可能为 (AB) A.y=2x+6 B.y=2x-4 C.y=3x+1 D.y=3x-4 解析　y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),所以y'|x=0=2,则所求的切线方程为y=2x+1,设直线l的方程为y=2x+b,则=,解得b=6或b=-4。所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4。 三、填空题 9.函数y=sin(x+1)-cos的导数是 y'=cos(x+1)+sin 。  解析　y'=cos(x+1)·(x+1)'+sin·'=cos(x+1)+sin。 10.质点M按规律s(t)=(2t+1)2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2时的瞬时速度为 20 m/s。  解析　因为s(t)=(2t+1)2,所以s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4,则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s)。 11.已知f (x)为偶函数,当x≤0时,f (x)=e-x-1-x,则曲线y=f (x)在点(1,2)处的切线方程是 y=2x 。  解析　当x>0时,-x<0,则f (-x)=ex-1+x,又f (x)为偶函数,所以f (x)=f (-x)=ex-1+x,f '(x)=ex-1+1,则f '(1)=2,故所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x。 四、解答题 12.求下列函数的导数: (1)y=102x+3; (2)y=sin; (3)y=-2e3xsin 2x。 解　(1)原函数可以看作y=10u和u=2x+3的复合函数,则yx'=yu'·ux'=102x+3×(ln 10)×2=(2ln 10)102x+3。 (2)原函数可以看作y=sin u和u=-2x+的复合函数,则yx'=yu'·ux'=cos u·(-2)=-2cos-2x+=-2cos。 (3)原函数可以看作y=-2u(x)·v(x),其中u(x)可以看作u=em和m=3x的复合函数,v(x)可以看作v=sin p和p=2x的复合函数,则y'=-2(3e3xsin 2x+2e3xcos 2x)=-2e3x(3sin 2x+2cos 2x)。 13.一听汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t。 (1)求汽水温度x在t=1处的导数,并解释它的实际意义; (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系:x=y-32。写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数。 解　(1)x'=