课时达标检测(12) 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十二)　数学归纳法 基础达标 一、单项选择题 1.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明: ①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,所以等式成立。 ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时,等式也成立。 由①②知,对任意的正整数n等式都成立。判断以上评述 (B) A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确 解析　推理不正确,错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论,命题由等比数列求和公式知正确。 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步应验证n等于 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由凸多边形的性质知,应先验证三角形,故选C。 3.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时,该命题也成立。现在已知当n=5时,该命题成立,那么可推导出 (B) A.当n=6时命题不成立 B.当n=6时命题成立 C.当n=4时命题不成立 D.当n=4时命题成立 解析　由数学归纳法的第二步知B正确。 4.用数学归纳法证明:对任意正偶数n,均有1-+-+…+-=2++…,在验证n=2正确后,归纳假设应写成 (C) A.假设n=k(k∈N*)时命题成立 B.假设n≥k(k∈N*)时命题成立 C.假设n=2k(k∈N*)时命题成立 D.假设n=2(k+1)(k∈N*)时命题成立 解析　因为题目要证明的是对任意正偶数n,等式成立,所以在验证n=2正确后,归纳假设应写成:假设n=2k(k∈N*)时命题成立,故选C。 5.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了 (D) A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 解析　左边增加了+++…+,共2k项。 6.凸n边形有f (n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f (n+1)= (C) A.f (n)+n+1 B.f (n)+n C.f (n)+n-1 D.f (n)+n-2 解析　增加一个顶点,就增加(n+1-3)条过该顶点的对角线,另外原来的一边也变成了对角线,则f (n+1)=f (n)+1+n+1-3=f (n)+n-1。故选C。 7.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算a2,a3,a4,归纳推测出an的通项公式为 (B) A. B. C. D. 解析　结合题意,得a1=2,a2=,a3=,a4=,…,可推测an=,故选B。 二、填空题 8.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,第一步应验证的等式是 1-= 。  解析　当n=1时,1-=,即1-=。 9.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2n>n3”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应为 10 。  解析　n0从1开始验证,第一个使命题成立的式子是210>103。 10.已知f (n)=1+++…+,n∈N*,用数学归纳法证明f (2n)>时,f (2n+1)-f (2n)= ++…+ 。  解析　f (2n+1)-f (2n)=1+++…++++…+-1++…+=++…+。 11.设f (n)=5n+2×3n-1+1(n∈N*),若f (n)能被m(m∈N*)整除,则m的最大值为 8 。  解析　f (1)=8,f (2)=32,f (3)=144=8×18,猜想m的最大值为8。 三、解答题 12.用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,左边=1,右边=2×(2-3)+3=1,所以等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3。则当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1×[2(k+1)-3]+3,即当n=k+1时,等式也成立。由(1)(2)知,等式对任何n∈N*都成立。 13.用数学归纳法证明:1+++…+≤+n(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,1+=,不等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),即当n=k+1时,不等式也成立。由(1)和(2)可知,不等式对所有的n∈N*都成立。 素养提升 14.用数学归纳法证明34n+1+