课时达标检测(11) 数列求和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十一)　数列求和 一、单项选择题 1.数列2,4,6,…的前n项和Sn为 (C) A.n2+1+ B.n2+2- C.n(n+1)+- D.n(n+1)+ 解析　Sn=(2+4+6+…+2n)+++…+=n(2+2n)+=n(n+1)+-。 2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 022项和S2 022等于 (B) A.-2 020 B.2 022 C.-2 022 D.2 020 解析　S2 022=-1+3-5+7-…-(2×2 021-1)+(2×2 022-1)==2 022。故选B。 3.已知数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 023= (B) A.0 B.-1 012 C.-2 022 D.3 032 解析　由an=ncos,得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,…,由此可知a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=2。因为2 023=4×505+3,所以S2 023=2×505+a2 021+a2 022+a2 023=1 010+0-2 022+0=-1 012。故选B。 4.数列,,,…,,…的前n项和为 (B) A. B. C. D. 解析　an=,Sn=-++…+=-=。 5.若数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为 (B) A. B. C. D. 解析　bn===-,所以{bn}的前10项和S10=b1+b2+b3+…+b10=-+-+-+…+-=-=。 6.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1 020,那么n的最小值是 (D) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　an=1+2+22+…+2n-1=2n-1。所以Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,所以S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,所以使Sn>1 020的n的最小值是10。 7.设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*),bn=(2n-1)an,则数列{bn}的前n项和Tn为 (B) A.(n-1)·3n+1 B.(n-1)·3n+1+3 C.(n-1)·3n+3 D.n·3n+1+3 解析　因为an+1=2Sn+3,所以n≥2时,an=2Sn-1+3,所以an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an,又a1=3,a2=2S1+3=9,=3,所以{an}是等比数列,首项和公比都是3,所以an=3n,bn=(2n-1)×3n。则Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,所以3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1,两式相减得-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)×3n+1=3+-(2n-1)×3n+1=(2-2n)×3n+1-6,所以Tn=(n-1)×3n+1+3,故选B。 二、填空题 8.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),n∈N*,则S15+S22-S31的值是 -76 。  解析　S15=-4×7+a15=-28+57=29,S22=-4×11=-44,S31=-4×15+a31=-60+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76。 9.已知数列{an}满足an=,则数列的前n项和为  。  解析　an==,==4-,所求数列的前n项和为4-+-+…+-=4-=。 10.已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2,数列{bn}的每一项都有bn=|an|,设数列{bn}的前n项和为Tn,则T4= 24 ,T30= 650 。  解析　当n=1时,a1=S1=9,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-n2-[10(n-1)-(n-1)2]=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(n∈N*),所以当n≤5时,an>0,bn=an,当n>5时,an<0,bn=-an,所以T4=S4=10×4-42=24,T30=S5-a6-a7-…-a30=2S5-S30=2×(10×5-52)-(10×30-302)=650。 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1(n∈N*),则数列{nan}的前n项和Tn 为 (n-1)2n+1 。  解析　因为Sn=2an-1(n∈N*),所以n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),化为an=2an-1,所以数列{