课时达标检测(10) 等比数列前n项和的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十)　等比数列前n项和的性质及应用 基础达标 一、单项选择题 1.某森林原有木材量为a m3,每年以25%的速度增长,5年后,这片森林共有木材量 (A) A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4 C.4a D.a(1+25%)6 解析　森林中原有木材量为a,一年后为a(1+25%),两年后为a(1+25%)2,…,五年后为a(1+25%)5。 2.拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图。某树形拓扑结构图如图所示,圆圈代表节点,每一个节点都有两个子节点,则第10层节点的个数为 (C) A.100 B.128 C.512 D.1 024 解析　由图可知,每一层的节点数组成以1为首项,2为公比的等比数列,所以第10层节点的个数是a10=1×210-1=512。 3.某地为了保护水土资源实行退耕还林,如果2018年退耕a万亩,以后每年比上一年增加10%,那么到2025年一共退耕 (A) A.10a(1.18-1)万亩 B.a(1.18-1)万亩 C.10a(1.17-1)万亩 D.a(1.17-1)万亩 解析　记2018年为第一年,第n年退耕an万亩,则{an}为等比数列,且a1=a,公比q=1+10%,则问题转化为求数列{an}的前8项和,所以数列{an}的前8项和为==10a(1.18-1)。所以到2025年一共退耕10a(1.18-1)万亩。 4.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库,现为世界非物质文化遗产之一。某洞窟的浮雕共7层,它们构成一幅优美的图案。若从下往上计算,从第二层开始,每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍,该洞窟浮雕像总共有1 016个,则第5层浮雕像的个数为 (B) A.64 B.128 C.224 D.512 解析　设最下层的浮雕像的数量为a1,依题意有公比q=2,n=7,S7==1 016,解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7,n∈N*),所以a5=27=128。 5.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为p,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 (B) A. B. C. D. 解析　设每年应还x万元,则x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)9=M(1+p)10,=M(1+p)10,所以x=。故选B。 6.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论。他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000 m,此时乌龟便领先他100 m;当阿基里斯跑完下一个100 m时,乌龟仍然领先他10 m;当阿基里斯跑完下一个10 m时,乌龟仍然领先他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟。按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)为 (B) A. B. C. D. 解析　由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列{an},且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5===。 7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队成,每队更该八个甲,每个甲头八个兵。”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 (D) A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.8+(87-8)人 D.8+(89-84)人 解析　该问题中有8名将官,84名先锋,85名旗头,86名队长,87名甲头,88名士兵,则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+84+85+86+87+88=8+=8+×(89-84)(人)。 二、填空题 8.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了2个伙伴;第2天,3只蜜蜂飞出去,各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有 729 只蜜蜂。 解析　每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3,所以第6天所有蜜蜂归巢后,蜜蜂总数为a6=36=729(只)。 9.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题:今有银一秤一斤十两,令甲、乙、丙从上作折半差分之。其意思是:现有银一秤一斤十两,将银分给甲、 乙、丙三人,甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半。若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银  两。(规定:1秤=10斤,1斤=10两)  解析　一秤一斤十两共120两,将这5人所得银的数量由小到大排列,记为数列{an}(n=1,2,3,4,5),则{an}是公比q=2的等比数列,于是得前5项之和S5