课时达标检测(9) 等比数列的前n项和公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(九)　等比数列的前n项和公式 基础达标 一、单项选择题 1.在等比数列{an}中,a3=,其前3项的和S3=,则数列{an}的公比q= (C) A.- B. C.-或1 D.或1 解析　由题意,可得a1q2=,a1+a1q+a1q2=,两式相除,得=3,解得q=-或q=1。 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则等于 (D) A.11 B.5 C.-8 D.-11 解析　设{an}的公比为q。因为8a2+a5=0,所以8a2+a2·q3=0,所以a2(8+q3)=0。因为a2≠0,所以q3=-8,所以q=-2。所以=====-11。故选D。 3.在等比数列{an}中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差数列,则{an}的前5项和为 (B) A.31 B.62 C.64 D.128 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为a4=8a1,所以a1q3=8a1,a1≠0,解得q=2,又a1,a2+1,a3成等差数列,所以2(a2+1)=a1+a3,所以2(2a1+1)=a1(1+22),解得a1=2,所以{an}的前5项和为2×=62。 4.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于 (B) A.-2 B.-1 C. D. 解析　由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,将q=代入S2=3a2+2中,得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1。故选B。 5.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 (C) A.190 B.191 C.192 D.193 解析　设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=,n=7,由=381,解得a1=192。 6.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于 (C) A.8 B.12 C.16 D.24 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16。 二、多项选择题 7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则 (AD) A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8 C.=8 D.=9 解析　因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以=q3=8,解得q=2,所以==1+q3=9,故选AD。 8.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1,++=,则 (BD) A.{an}必是递减数列 　B.S5= C.公比q=4或 　D.a1=4或 解析　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,因为a1a5==1,a3=a1q2=1,所以++=1++=1+=1+a1+a5=a1+1+=,解得或当a1=4,q=时,S5==,数列{an}是递减数列;当a1=,q=2时,S5=,数列{an}是递增数列。综上,S5=。故选BD。 三、填空题 9.已知正项等比数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn(n∈N*),且-=,则S4= 15 。  解析　正项等比数列{an}中,a1=1,且-=,所以1-=,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),所以S4==15。 10.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q= 2 。  解析　设{an}的公比为q,则奇数项构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,偶数项之和与奇数项之和分别为S偶,S奇,由题意S偶+S奇=3S奇,即S偶=2S奇,因为数列{an}的项数为偶数,所以q==2。 11.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项的和为 450 。  解析　由=q,q=2,得=2⇒a2+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450。 四、解答题 12.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列。 (1)求数列{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn。 解　(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0。又q≠0,从而q=-。 (2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4。从而Sn==。 13.设{a