课时达标检测(8) 等比数列的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(八)　等比数列的性质及应用 基础达标 一、单项选择题 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是 (D) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 解析　设等比数列的公比为q,因为==q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列。故选D。 2.在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10= (B) A.6 B.2 C.2或6 D.-2 解析　由题知a2+a18=-6,a2·a18=4,所以a2<0,a18<0,故a10<0,所以a10=-=-2,因此a4·a16+a10=+a10=2。故选B。 3.等差数列{an}的首项为1,公差不为0。若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为 (A) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析　根据题意,得=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=0(舍去),d=-2,所以数列{an}的前6项和为S6=6a1+d=1×6+×(-2)=-24。 4.已知各项均为正数的等比数列{an }中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为 (C) A.100 B.-100 C.10 000 D.-10 000 解析　因为a3a8a13=,所以lg(a3a8a13)=lg =3lg a8=6。所以a8=100。所以a1a15==10 000,故选C。 5.若1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于 (A) A.- B. C.± D. 解析　因为1,a1,a2,4成等差数列,所以3(a2-a1)=4-1,所以a2-a1=1。又因为1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则=1×4=4,且b2=1×q2>0,所以b2=2,所以==-。 6.已知正项等比数列{an},满足a2··a2 024=16,则a1·a2·…·a1 019= (B) A.41 019 B.21 019 C.41 020 D.21 020 解析　设等比数列{an}的公比为q,由题意知a2··a2 024=a1q·(a1q6)2·a1q2 023=(a1q509)4==16,又各项均为正数,所以a510=2,所以a1·a2·…·a1 019==21 019,故选B。 二、多项选择题 7.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为 (CD) A.-36 B.36 C.-36 D.36 解析　设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6===8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36。故选CD。 8.设{an}是等比数列,给出下列说法正确的是 (BCD) A.{an+an+1}是等比数列 B.是等比数列 C.{lg|an|}是等差数列 D.{an·an+1}是等比数列 解析　A中,当数列{an}的公比为-1时,an+an+1=0,而等比数列各项均不为0,故A错误;B中,是以为首项,为公比的等比数列;C中,{lg|an|}是以lg|a1|为首项,lg|q|为公差的等差数列;D中,{an·an+1}是以q为首项,q2为公比的等比数列。故正确的说法是BCD。 三、填空题 9.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是 3或27 。  解析　设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27。 10.画一个边长为2 cm的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于 2 048 cm2。  解析　这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S==22×29=211=2 048(cm2)。 11.已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2 021和a2 022是方程4x2-8x+3=0的两个根,则a2 023+a2 024的值是 18 。  解析　设等比数列的公比为q。因为a2 021和a2 022是方程4x2-8x+3=0的两个根,所以a2 021+a2 022=2,a2 021·a2 022=,即a2 021(1+q)=2①,a2 021·a2 021q=②,故由,得=。又因为q>1,解得q=3,所以a2 023+a2 024=q2(a2 021+a2 022)=32×2=18。 四、解答题 12.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值。 解　因