课时达标检测(4) 等差数列的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(四)　等差数列的性质及应用 基础达标 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为 (A) A.5 B.6 C.8 D.10 解析　由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5。 2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是 (C) A.-2 B.- C.2 D. 解析　因为an+1-an=3,所以{an}为等差数列,且d=3。a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3×(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2。 3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= (B) A.5 B.8 C.10 D.14 解析　由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=10,又a1=2,所以a7=8。 4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是 (C) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析　因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列。 5.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于 (A) A.8 B.4 C.6 D.12 解析　因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8。 6.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 (C) A.a1+a101>0 B.a2+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 解析　根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,a3+a99=2a51=0,故选C。 二、多项选择题 7.若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有 (ACD) A.{an+an+1} B.{} C.{an+1-an} D.{2an} 解析　设等差数列{an}的公差为d。对于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列,所以{an+1-an}为等差数列;对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列。 8.已知等差数列{an}中,a1=3,公差为d(d∈N*),若2 022是该数列的一项,则公差d不可能是 (ACD) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　因为2 022是该数列的一项,即2 022=3+(n-1)d,所以n=+1,因为d∈N*,所以d是2 019的约数,故d不可能是2,4和5。 三、填空题 9.在等差数列{an}中,若+2a2a8+a6a10=16,则a4a6= 4 。  解析　因为在等差数列{an}中,+2a2a8+a6a10=+a2(a6+a10)+a6a10=(a2+a6)(a2+a10)=2a4·2a6=16,所以a4a6=4。 10.已知等差数列{an}中,a1+a3+a8=,那么cos(a3+a5)= - 。  解析　在等差数列{an}中,由a1+a3+a8=a1+(a1+2d)+(a1+7d)=3a1+9d=,得a1+3d=a4=,所以a3+a5=2a4=,cos(a3+a5)=cos=-。 11.假设某市2022年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米。那么该市在 2031 年新建住房的面积开始大于820万平方米。  解析　设n年后该市新建住房的面积为an万平方米。由题意,得{an}是等差数列,首项a1=450,公差d=50,所以an=a1+(n-1)d=400+50n。令400+50n>820,解得n>。由于n∈N*,则n≥9。所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米。 四、解答题 12.已知{an}是等差数列, (1)若a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值; (2)若a49=80,a59=100,求a79。 解　(1)因为{an}是等差数列,所以a1+a15=a4+a12=a3+