第5章 专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题　用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 类型一 证明不等式 　　【例1】　已知函数f (x)=x2ex-1-x3-x2。 (1)讨论函数f (x)的单调性; (2)设g(x)=x3-x2,求证:对任意实数x,都有f (x)≥g(x)。 解　(1)f '(x)=x(x+2)(ex-1-1)(x∈R),由f '(x)=0得x1=-2,x2=0,x3=1。当-2<x<0或x>1时,f '(x)>0;当x<-2或0<x<1时,f '(x)<0,所以函数f (x)在(-2,0)和(1,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和(0,1)上单调递减。 (2)证明:f (x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x)。设h(x)=ex-1-x,则h'(x)=ex-1-1,由h'(x)=0得x=1,则当x<1时,h'(x)<0,即函数h(x)在(-∞,1)上单调递减;当x>1时,h'(x)>0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递增。因此,当x=1时,h(x)取最小值h(1)=0。即对任意实数x都有h(x)≥0,又x2≥0,所以f (x)-g(x)≥0,故对任意实数x,恒有f (x)≥g(x)。 利用导数解决不等式问题的策略 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等),其实质就是利用导数研究函数的单调性。而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关,因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后讨论这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点处的函数值求解问题。 要证不等式f (x)>g(x),则构造函数φ(x)=f (x)-g(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助导数解决。 　　【变式训练】　设函数f (x)=ln x-x+1。 (1)讨论f (x)的单调性; (2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x。 解　(1)依题意,f (x)的定义域为(0,+∞)。f '(x)=-1,令f '(x)=0,得x=1。所以当0<x<1时,f '(x)>0,f (x)单调递增;当x>1时,f '(x)<0,f (x)单调递减。 (2)证明:由(1)知f (x)在x=1时取得最大值,且最大值f (1)=0。所以当x≠1时,ln x<x-1。故当x∈(1,+∞)时,>1,将代入ln x<x-1,得ln<-1,即-ln x<-1⇔ln x>1-⇔ln x>⇔x>,故当x∈(1,+∞)时恒有1<<x。 类型二 不等式恒成立问题 　　【例2】　已知函数f (x)=ex(ex-a)-a2x。 (1)讨论f (x)的单调性; (2)若f (x)≥0,求a的取值范围。 解　(1)函数f (x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)。①若a=0,则f (x)=e2x,易得f (x)在(-∞,+∞)上单调递增。②若a>0,则由f '(x)=0,得x=ln a。当x∈(-∞,ln a)时,f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f '(x)>0。故f (x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增。③若a<0,则由f '(x)=0,得x=ln-。当x∈时,f '(x)<0;当x∈ln-,+∞时,f '(x)>0。故f (x)在-∞,ln-上单调递减,在ln-,+∞上单调递增。 (2)①若a=0,则f (x)=e2x,所以f (x)>0。②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f (x)取得最小值,最小值为f (ln a)=-a2ln a。从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f (x)≥0。③若a<0,则由(1)得,当x=ln-时,f (x)取得最小值,最小值为f ln-=a2-ln-。从而当且仅当a2-ln-≥0,即a≥-2时,f (x)≥0。综上,a的取值范围是[-2,1]。 (1)涉及不等式恒成立、不等式能成立的问题时,一般需转化为函数最值来解决。若不等式中含参数,则可考虑分离参数,以求避免分类讨论。 (2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略 ①a>f (x)恒成立⇔a>f (x)max,a<f (x)恒成立⇔a<f (x)min;②f (x)>g(x)+k恒成立⇔k<[f (x)-g(x)]min;③f (x)>g(x)恒成立⇔[f (x)-g(x)]min>0;④a>f (x)能成立⇔a>f (x)min,a<f (x)能成立⇔a<f (x)max。 　　【变式训练】　已知f (x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2。 (1)求函数f (x)的单调区间; (2)若对任意x∈(0,+∞),2f (x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围。 解　(1)函数f (x)=xln x的定义域为(0,+∞)