第4章 专题 数列求和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题　数列求和 　　1.倒序相加法 如果一个数列{an}中,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的。 2.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的。 3.裂项相消法 把数列的各项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。 常见的拆项公式: (1)=-; (2)=-; (3)=-。 4.分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减。 5.并项求和法 一个数列的前n项和,可两两结合求解,则称之为并项求和。形如an=(-1)nf (n)类型,可采用两项合并求解。 类型一 分组转化法求和 　　【例1】　(1)数列1,,2,,4,,…的前2n项和S2n= 2n- 。  解析　S2n=(1+2+4+…+2n-1)+=2n-1+1-=2n-。 (2)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a10= 15 。  解析　记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15。 将数列中的每一项拆成几项,然后重新分组,把一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和问题,我们将这种方法称为通项分解法,运用这种方法的关键是将通项变形。 　　【变式训练】　(1)求数列0.9,0.99,0.999,…,的前n项和Sn= n-(1-0.1n) 。  解析　an=1-0.1n,Sn=n-(0.1+0.01+…+0.1n)=n-=n-(1-0.1n)。 (2)已知函数f (n)=且an=f (n)+f (n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 (B) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 解析　由题意可得,当n为奇数时,an=f (n)+f (n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;当n为偶数时,an=f (n)+f (n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1。所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=[-2×(1+3+5+…+99)-50]+[2×(2+4+6+…+100)+50]=100。故选B。 类型二 裂项相消法求和 　　角度1:形如an=型 　　【例2】　已知数列的前n项和Sn=9,求n的值。 解　记an==-,则a1=-,a2=-,a3=-,…,an=-。所以Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1。令-1=9,解得n=99。 　　角度2:形如an=型 　　【例3】　等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960。 (1)求an与bn; (2)求和:++…+。 解　(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意有解得或(舍去),故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1。 (2)因为Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以+++…+=+++…+=1-+-+-+…+-=1+--=-。 　　角度3:形如an=(a>0,a≠1)型 　　【例4】　已知数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,且满足a1an=S1+Sn。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)由已知,得数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,且满足a1an=S1+Sn。当n=1时,=2a1,解得a1=2。当n≥2时,2an=2+Sn　①,2an-1=2+Sn-1　②,①-②得,an=2an-1,整理得=2(常数)。所以an=2·2n-1=2n。 (2)由于Sn==2·(2n-1)。bn===-,所以Tn=×1-+-+…+-=1-。 利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项。 (2)将各项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原项相等。如:若{an}是等差数列,则=-,=-。 　　【变式训练】　(1)数列{an}的通项公式为an=,若{an}的前n项和为24,则n= (C) A.25 B.576 C.624 D.625 解析　an=-,所以Sn=(-)+(-)+…+(-)=-1