5.3.2 第3课时 导数的应用问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第3课时　导数的应用问题 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用导数研究函数的图象 　　【例1】　函数y=(其中e为自然对数的底数)的大致图象是 (B) 解析　解法一:由函数y=可知,当x=0时,y=0,排除C;当x<0时,y<0,排除A;y'==,当x<3时,y'>0;当x>3时,y'<0,所以函数在(0,+∞)上先增后减。故选B。 解法二:由函数y=可知,当x=0时,y=0,排除C;当x<0时,y<0,排除A;当x→+∞时,y→0。故选B。 根据解析式判断函数的图象时,综合应用各种方法:如判断函数的奇偶性、定义域、特殊值和单调性,有时还要用导数研究函数的极值点,甚至最值等。 　　【变式训练】　函数f (x)=-2x2的图象大致为 (A) 解析　因为f (x)=f (-x),当x>0时,f '(x)=·2x-4x,令f '(x)=0,则2x(-2)=0⇒x=∈(0,1),且f ()=2-2ln 2>0,所以当x>0时,f (x)>0,且只有一个极值点,所以排除B,C,D。故选A。 类型二 利用导数研究函数的零点(或方程的根) 　　【例2】　给定函数f (x)=ex-x。 (1)判断函数f (x)的单调性,并求出f (x)的值域; (2)画出函数f (x)的大致图象; (3)求出方程f (x)=m(m∈R)在区间[-1,2]上的根的个数。 解　(1)函数f (x)的定义域为R,f '(x)=ex-1,令f '(x)=0,解得x=0。当x变化时,f '(x),f (x)的变化情况如表所示: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f '(x) - 0 + f (x) 单调递减 1 单调递增 　　所以f (x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增。当x=0时,f (x)有极小值为f (0)=1,也是最小值,故函数f (x)的值域为[1,+∞)。 (2)由(1)可知,函数的最小值为1。函数的图象经过特殊点f (-1)=+1,f (2)=e2-2,f (0)=1。当x→+∞时,f (x)→+∞,f '(x)→+∞;当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数f (x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x,根据上述信息,画出函数f (x)的大致图象如图①所示。 ① (3)截取函数f (x)在区间[-1,2]上的图象如图②所示。由图象知,当f (0)<m≤f (-1),即当m∈1,+1时,f (x)与y=m恰有两个不同的交点,即当m∈1,+1时,方程f (x)=m在区间[-1,2]上恰有两个不同的实根;同理,当m=1或+1<m≤e2-2时,方程f (x)=m在区间[-1,2]上有唯一的实根;当m<1或m>e2-2时,方程f (x)=m在区间[-1,2]上无实根。 ② 讨论方程根的个数,研究函数图象与x轴或某直线的交点个数的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用。解决问题的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极(最)值列出,然后再借助单调性和极(最)值情况,画出函数图象的草图,数形结合求解。 　　【变式训练】　已知函数f (x)=-1。 (1)求f (x)的单调区间; (2)当a≤1时,求函数f (x)在区间(0,e]上零点的个数。 解　(1)因为f (x)=-1(x>0),所以f '(x)=,令f '(x)=0,得x=e1-a。f '(x)及f (x)随x的变化情况如表所示: x (0,e1-a) e1-a (e1-a,+∞) f '(x) + 0 - f (x) 单调递增 单调递减 　　所以f (x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+∞)。 (2)由(1)可知f (x)的最大值为f (e1-a)=,①当a=1时,f (x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,e)上单调递减,又f (1)=0,故f (x)在区间(0,e]上只有一个零点。②当a<1时,1-a>0,e1-a>1,则f (e1-a)=<0,所以f (x)在区间(0,e]上无零点。综上,当a=1时,f (x)在区间(0,e]上只有一个零点;当a<1时,f (x)在区间(0,e]上无零点。 类型三 导数在实际中的应用 　　【例3】　某知名保健品企业新研发了一种健康饮品。已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶,最少1千瓶,经检测知生产过程中该饮品的正品率p与日产量x(x∈N*,单位:千瓶)间的关系为p=,每生产一瓶正品盈利4元,每生产一瓶次品亏损2元。(注:正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数; (2)求该种饮品的最大日利润。 解　(1)由题意,知每生产1千瓶正品盈利4 000元,每生产