5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　函数的最大(小)值 　　在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,他们与函数极值关系如何?这就是本节课我们所要学习的内容。 1.能够利用导数求函数在某个区间上的最大值和最小值。 2.体会导数与最大(小)值的关系。 1.函数f (x)在区间[a,b]上的最值 (1)如果在区间[a,b]上函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得。 (2)求函数y=f (x)在区间[a,b]上的最值的步骤: ①求函数y=f (x)在区间(a,b)上的极值。 ②将函数y=f (x)的各极值与端点处的函数值f (a),f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 2.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义域整体而言。 (2)在函数的定义域内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有)。 (3)函数f (x)的极值点在定义域内,而最值点可以是区间的端点。 (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得。 如图是y=f (x)在区间[a,b]上的函数图象,显然f (x1),f (x3),f (x5)为极大值,f (x2),f (x4),f (x6)为极小值。最大值y=M=f (x3)=f (b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f (x4)在x=x4处取得。 微思考 1.在闭区间[a,b]上的连续函数y=f (x)有极值一定有最值,反之成立吗? 提示:反之不成立,在闭区间[a,b]上的连续函数y=f (x)有极值一定有最值,但有最值不一定有极值。 2.最值一定是极值吗? 提示:最值不一定是极值,极值也不一定是最值。只有在一定条件下最值才是极值,极值才能成为最值。 类型一 不含参数的函数的最值问题 　　【例1】　求下列函数的最值。 (1)f (x)=4x3+3x2-36x+5,x∈[-2,+∞); (2)f (x)=sin 2x-x,x∈。 解　(1)f '(x)=12x2+6x-36,令f '(x)=0,得x=-2或x=。当x变化时,f '(x),f (x)的变化情况如表所示。 x -2 -2, ,+∞ f '(x) 0 - 0 + f (x) 57 单调递减 - 单调递增 　　所以f (x)在-2,上单调递减,在,+∞上单调递增。因此,函数f (x)在[-2,+∞)上只有最小值-,无最大值。 (2)f '(x)=2cos 2x-1。令f '(x)=2cos 2x-1=0,解得x=或x=-。当x变化时,f '(x)与f (x)的变化情况如表所示。 x - -,- - -, , f '(x) - 0 + 0 - f (x) 单调递减 单调递增 单调递减 - 由上表可知f (x)的最大值是,最小值是-。 求函数最值的4个步骤 提醒:求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值作比较。 　　【变式训练】　已知函数f (x)=+ln x,求f (x)在,2上的最大值和最小值。 解　易知f (x)的定义域为(0,+∞),因为f (x)=+ln x=-1+ln x,所以f '(x)=-+=。令f '(x)=0,得x=1。当x变化时,f '(x)与f (x)在,2上的变化情况如表所示。 x ,1 1 (1,2) 2 f '(x) - 0 + f (x) 1-ln 2 单调 递减 0 单调 递增 -+ln 2 　　所以在,2上,当x=1时,f (x)取得极小值,也是最小值,且f (1)=0。又f =1-ln 2,f (2)=-+ln 2,f -f (2)=-2ln 2=×(3-4ln 2)=ln>0,所以f >f (2),所以f (x)在,2上的最大值为f =1-ln 2,最小值为f (1)=0。 类型二 已知函数最值求参数 　　【例2】　已知函数f (x)=ax3-6ax2+b(a>0),x∈[-1,2]的最大值是3,最小值为-29。求a,b的值。 解　求导得f '(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f '(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去)。因为a>0,所以x变化时,f '(x),f (x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f '(x) + 0 - f (x) -7a+b 单调递增 b 单调递减 -16a+b 由表可知,当x=0时,f