5.3.2 第1课时 函数的极值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 　　“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,如图是某处群山的截面图,你能指出山峰、山谷吗? 　　显然,在x1,x3,x5处是山峰,在x2,x4处是山谷这就是今天我们所要学习的函数的极值。 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系。 2.掌握函数极值的判定及求法。 3.掌握函数在某一点取得极值的条件。 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值。 函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f '(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,则把点a叫做函数y=f (x)的极小值点,f (a)叫做函数y=f (x)的极小值。 (2)极大值点与极大值。 函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f '(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则把点b叫做函数y=f (x)的极大值点,f (b)叫做函数y=f (x)的极大值。极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值。 2.函数极值的求法 解方程f '(x)=0,当f '(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,那么f (x0)是极大值。 ②如果在x0附近的左侧)f '(x)<0,右侧f '(x)>0,那么f (x0)是极小值。 微思考 1.“f '(x0)=0”是“函数y=f (x)在点x=x0处有极值”的什么条件?试举例说明。 提示:必要不充分条件。如:y=x3在x=0处的导数值为0,但y=x3单调递增,无极值。 2.函数的极大值与极小值是唯一的吗? 提示:不一定,极大值与极小值的值不具有确定性,可能有多个,也可能没有。 3.极大值一定比极小值大吗? 提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系。在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,如图所示。f (a)为极大值,f (d)为极小值,但f (a)<f (d)。 　　　　　　　　　　　　　 类型一 函数极值与函数图象的关系 　　【例1】　(多选)定义在R上的可导函数y=f (x)的导函数的图象如图所示,以下结论正确的是 (ACD) A.-3是f (x)的一个极小值点 B.-2和-1都是f (x)的极大值点 C.f (x)的单调递增区间是(-3,+∞) D.f (x)的单调递减区间是(-∞,-3) 解析　当x∈(-∞,-3)时,f '(x)<0;当x∈(-3,+∞)时,f '(x)≥0,所以-3是极小值点,无极大值点,增区间是(-3,+∞),减区间是(-∞,-3)。故选ACD。 (1)对于导函数的图象,重点关注导函数的值在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值的变化情况。 (2)对于函数的图象,重点关注函数在哪个区间上单调递增,在哪个区间上单调递减,哪个点是极大值点,哪个点是极小值点。 　　【变式训练】　如图是导函数y=f '(x)的图象,则f (x)在x=0处的函数值是 (C) A.导函数y=f '(x)的极大值 B.函数y=f (x)的极小值 C.函数y=f (x)的极大值 D.导函数y=f '(x)的极小值 解析　由导函数y=f '(x)的图象,可知函数在x=0处的导数为0,且左正右负,所以原函数在x=0的左边单调递增,右边单调递减,所以f (x)在x=0处的函数值是函数y=f (x)的极大值。 类型二 利用导数求函数的极值 　　命题方向1:求不含参数的函数极值 　　【例2】　求函数f (x)=的极值。 解　函数的定义域为(0,+∞),f '(x)===,令f '(x)=0,得x=,且当0<x<时,f '(x)>0,当x>时,f '(x)<0,所以f (x)在x=时取得极大值f ()=,无极小值。 利用导数求函数极值的方法 利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点。这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f '(x),f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中。观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值。这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值。 　　【变式训练】　求函数f (x)=的极值。 解　函数的定义域为R,f '(x)==,令f '(x)=0得x=-1。当x变化时,f '(x),f (x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,+∞) f '(x) + 0 - f (x) 单调递增 e 单调递减 　　所以函数f (x)在x=-1时