5.3.1 第2课时 函数单调性的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　函数单调性的应用 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用函数单调性求参数的取值范围 　　【例1】　(1)函数y=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,则m的取值范围是 (D) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 解析　函数y=x3+x2+mx+2是R上的单调函数,即y'=x2+2x+m≥0或y'=x2+2x+m≤0(舍)在R上恒成立,所以Δ=4-4m≤0,解得m≥1。故选D。 (2)若函数f (x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上单调递减,在区间(6,+∞)上单调递增,试求实数a的取值范围。 解　对函数f (x)求导得f '(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],令f '(x)=0得x=1或x=a-1,因为函数在区间(1,4)上单调递减,所以当x∈(1,4)时,f '(x)≤0,又因为函数在区间(6,+∞)上单调递增,所以当x∈(6,+∞)时,f '(x)≥0,所以4≤a-1≤6,所以5≤a≤7。即实数a的取值范围为[5,7]。 利用函数单调性求参数取值范围的两个基本思路。 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意。 (2)先令f '(x)>0(或f '(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f (x)是否满足题意。 　　【变式训练】　(1)若函数f (x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是 (A) A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0<a<1 解析　由已知得f '(x)=3x2-2ax-1,又f (x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,即f '(0)≤0且f '(1)≤0,解得a≥1。 (2)若函数f (x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是 (B) A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞) B.(-3,-1)∪(1,3) C.(-2,2) D.不存在这样的实数k 解析　由题意得,f '(x)=3x2-12=0在区间(k-1,k+1)上至少有一个实数根。又f '(x)=3x2-12=0的根为±2,且f '(x)在x=2或-2两侧导数异号,而区间(k-1,k+1)的区间长度为2,故只有2或-2在区间(k-1,k+1)内,所以k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1,所以1<k<3或-3<k<-1,故选B。 类型二 利用函数单调性比较大小或解不等式 　　【例2】　(1)(多选)已知函数f (x)的导函数为f '(x),且f '(x)<f (x),对任意的x∈R恒成立,则 (AB) A.f (ln 2)<2f (0) B.f (2)<e2f (0) C.f (ln 2)>2f (0) D.f (2)>e2f (0) 解析　令g(x)=,则g'(x)=<0,故g(x)在R上单调递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,所以f (ln 2)<2f (0),f (2)<e2f (0)。 (2)已知f (x)是定义在R上的奇函数,且f (2)=0,若当x>0时,xf '(x)+f (x)>0,则不等式xf (x)>0的解集是 (-∞,-2)∪(2,+∞) 。  解析　由题意设g(x)=xf (x),则g'(x)=xf '(x)+f (x)。因为当x>0时,xf '(x)+f (x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增。因为f (x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)是定义在R上的偶函数。又f (2)=0,则g(2)=2f (2)=0,所以不等式xf (x)>0等价于g(x)>0=g(2),所以|x|>2,解得x<-2或x>2,所以不等式xf (x)>0的解集是(-∞,-2)∪(2,+∞)。 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数,常见的有: (1)对于f '(x)>g'(x),构造h(x)=f (x)-g(x)。 (2)对于f '(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f (x)+g(x)。 (3)对于f '(x)+f (x)>0,构造h(x)=exf (x)。 (4)对于f '(x)>f (x),构造h(x)=。 (5)对于xf '(x)+f (x)>0,构造h(x)=xf (x)。 (6)对于xf '(x)-f (x)>0,构造h(x)=。 　　【变式训练】　(1)函数f (x)的定义域为R,f (-1)=2,对任意x∈R,f '(x)>2,则f (x)>2x+4的解集为 (B) A.(-1,1) B.(-1,+∞)