5.3.1 第1课时 导数与函数的单调性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 　　研究股票时,我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低),以及股票价格的变化范围(封顶或保底)。从股票走势曲线图来看,股票有升有降。我们知道,股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性,能否用导数研究函数的单调性呢? 1.结合实例,借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性。 3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 1.函数的单调性与导函数的正负之间的关系 在某个区间(a,b)上的函数y=f (x)。 f '(x)的正负 f (x)的单调性 f '(x)>0 单调递增 f '(x)<0 单调递减 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数y=f (x)在区间(a,b)上。 导数的 绝对值 函数变化 函数的图象 较大 较快 比较“陡峭”(向上或向下) 较小 较慢 比较“平缓” 微思考 1.如果在某个区间内恒有f '(x)=0,那么函数f (x)有什么特性? 提示:f (x)是常数函数。 2.在区间(a,b)内,f '(x)>0是f (x)在(a,b)上为单调增函数的什么条件? 提示:充分不必要条件,如f (x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f '(x)=3x2≥0。 3.某一范围内函数图象比较陡峭,是否导数值就较大? 提示:不是。导数值有正有负,当函数在某一区间为增函数,且图象较为陡峭时,其切线斜率即导数值越来越大;当函数在某一区间为减函数,且图象较为陡峭时,其切线斜率即导数值为负值,其绝对值越来越大,而导数值越来越小。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 求函数的单调区间 　　【例1】　求下列函数的单调区间: (1)f (x)=x2-ln x; (2)f (x)=。 解　(1)函数f (x)的定义域为(0,+∞)。f '(x)=2x-=。因为x>0,所以x+1>0,所以由f '(x)=0,得x=。因为当x>时,f '(x)>0,所以函数f (x)的单调递增区间为,+∞;因为当0<x<时,f '(x)<0,所以函数f (x)的单调递减区间为0,。 (2)函数f (x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞)。f '(x)==。令f '(x)=0,得x=3。因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0。所以当x>3时,f '(x)>0,所以函数f (x)的单调递增区间为(3,+∞);当x<3且x≠2时,f '(x)<0,所以函数f (x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3)。 求函数y=f (x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y=f (x)的定义域。 (2)求出导数y'=f '(x)。 (3)解不等式f '(x)>0,则解集与定义域的交集为函数y=f (x)的单调递增区间。 (4)解不等式f '(x)<0,则解集与定义域的交集为函数y=f (x)的单调递减区间。 　　【变式训练】　求下列函数的单调区间: (1)f (x)=2x3+3x2-36x+1; (2)f (x)=sin x-x(0<x<π)。 解　(1)f '(x)=6x2+6x-36。由f '(x)>0得6x2+6x-36>0,解得x<-3或x>2;由f '(x)<0解得-3<x<2。故f (x)的单调递增区间是(-∞,-3),(2,+∞);单调递减区间是(-3,2)。 (2)f '(x)=cos x-1。因为0<x<π,所以cos x-1<0恒成立,故函数f (x)的单调递减区间为(0,π),无单调递增区间。 类型二 导数与函数图象的关系 　　【例2】　(1)函数y=f (x)的图象如图所示,则导函数y=f '(x)的图象可能是 (D) 解析　因为函数f (x)在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,所以当x>0时,f '(x)<0;当x<0时,f '(x)<0。 (2)已知函数y=f (x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是 (B) 解析　由y=f '(x)的图象知,y=f (x)为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B。 通过图象研究函数的单调性的方法 (1)观察原函数的图象,重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势。 (2)观察导函数的图象,重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负。 　　【变式训练】　设函数f (x)的图象如图所示,则导函数f '(x)的图象可能为 (C) 解析　因为f (x)在(-∞,1),(4,+∞)上是减函数,在(1,4)上为增函数,所以当x<1或x>4时,f '(x)<0;当1<