5.2.3 简单复合函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2.3　简单复合函数的导数 　　 海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)与油膜的半径r(单位:m)的函数关系为S=f(r)=πr2。油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而扩大,假设r关于t的函数解析式为r=φ(t)=2t+1。油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少呢?要解决这个问题就要学习复合函数的导数。 1.能求简单复合函数的导数。 2.会利用复合函数的导数解决一些简单的实际应用问题。 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f (u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f (g(x))。 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数y=f (g(x)),它的导数与函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 微提醒 求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)最后要把中间变量换成关于自变量的函数。 微思考 1.已知函数y=2x+5+ln x,y=ln(2x+5),y=sin(x+2)。这三个函数都是复合函数吗? 提示:函数y=ln(2x+5),y=sin(x+2)是复合函数,函数y=2x+5+ln x不是复合函数。 2.试说明函数y=ln(2x+5)是如何复合的? 提示:设u=2x+5x>-,则y=ln u,从而y=ln(2x+5)可以看成是由y=ln u和u=2x+5x>-经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 复合函数求导数 　　【例1】　求下列函数的导数。 (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-; (3)y=ln(4x-1);(4)y=。 解　(1)设y=u2,u=4-3x,则y'u=2u,u'x=-3,于是y'x=y'u·u'x=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24。 (2)设y=cos u,u=2x-,则y'u=-sin u,u'x=2,于是y'x=y'u·u'x=-2sin2x-,即y'=-2sin2x-。 (3)设y=ln u,u=4x-1,则y'u=,u'x=4,于是y'x=y'u·u'x=,即y'=。 (4)设y=eu,u=x2,则y'u=eu,u'x=2x,于是y'x=y'u·u'x=·2x,即y'=2x。 解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数。 (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成。 　　【变式训练】　求下列函数的导数。 (1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2); (3)y=2sin3x-;(4)y=。 解　(1)令u=3x-2,则y=10u,所以y'x=y'u·u'x=10uln 10·(3x-2)'=3×103x-2ln 10。 (2)令u=ex+x2,则y=ln u,所以y'x=y'u·u'x=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=。 (3)设y=2sin u,u=3x-,则y'x=y'u·u'x=2cos u×3=6cos3x-。 (4)设y=,u=1-2x,则y'x=y'u·u'x='·(1-2x)'=-×(-2)=(1-2x。 类型二 与复合函数有关的切线问题 　　【例2】　(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 (A) A. B.2 C.3 D.0 解析　设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行。因为y'=,所以y'==2,解得x0=1,所以y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0)。所以切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d==,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是。 (2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= 2 。  解析　令y=f (x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f '(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f '(0)=2。因为f (x)=eax,所以f '(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f '(0)=ae0=a,故a=2。 求解本类题的前提是正确的求出复合函数的导数,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数。解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键。 　　【变式训练】