5.2.2 导数的四则运算法则-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2.2　导数的四则运算法则 　　由导函数的定义可知,一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数,并且知道,很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到,能否由基本初等函数的导数,研究出导数的“运算法则”,这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。 能利用导数的四则运算法则求函数的导数。 导数运算法则 法则 语言叙述 [f (x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) 两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差) [f (x)g(x)]'= f '(x)g(x)+f (x)g'(x) 两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数 '= (g(x)≠0) 两个函数商的导数,等于分子的导数乘以分母,减去分子乘以分母的导数,再除以分母的平方 微提醒 1.先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导。 2.对于不符合求导公式或四则运算法则求导的函数,可先对其进行恒等变形,再求导。 微思考 1.函数y=cf (x)(c为常数)的导数,是积的导数吗?结果是什么? 提示:函数y=cf (x)的导数是积的导数,其结果为y'=[cf (x)]'=cf '(x)。 2.f (x)与g(x)是可导函数,且f '(x)≠0,那么下列关系成立吗? (1)[af (x)+b g(x)]'=af '(x)+b g'(x)(a,b为常数)。 (2)'=-。 提示:由导数的运算法则可知这两个关系式都成立。 类型一 利用导数的四则运算法则求导 　　【例1】　求下列函数的导数: (1)y=x2+log3x;(2)y=x3ex;(3)y=。 解　(1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+。 (2)y'=(x3ex)'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=ex(x3+3x2)。 (3)y'='===-。 求函数的导数的方法 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数。 (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算。 　　【变式训练】　求下列函数的导数: (1)y=sin x-2x2;(2)y=cos xln x; (3)y=。 解　(1)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x。 (2)y'=(cos xln x)'=(cos x)'ln x+cos x(ln x)'=-sin xln x+。 (3)y'='= ==。 类型二 导数运算法则的简单应用 　　【例2】　已知函数f (x)=ax2+ln x的导数为f '(x)。 (1)求f (1)+f '(1); (2)若曲线y=f (x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围。 解　(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞),由f (x)=ax2+ln x,得f '(x)=2ax+,所以f (1)+f '(1)=3a+1。 (2)因为曲线y=f (x)存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在(0,+∞)上导函数f '(x)=2ax+存在零点,即f '(x)=0⇒2ax+=0有正实数解,即2ax2=-1有正实数解,故有a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0)。 利用导数求解参数问题是高考的热点问题。它比较全面地考查了导数的应用,突出了导数的工具性作用,而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键。 　　【变式训练】　(1)已知函数f (x)的导函数为f '(x),且满足f (x)=2xf '(1)+ln x,则f '(1)= -1 。  解析　由f (x)=2xf '(1)+ln x,得f '(x)=2f '(1)+。所以f '(1)=2f '(1)+1,则f '(1)=-1。 (2)若函数f (x)=在x=c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数,求c的值。 解　因为f (x)=,所以f (c)=,又f '(x)==,所以f '(c)=,依题意知f (c)+f '(c)=0,所以+=0,所以2c-1=0,解得c=。 类型三 切线的综合问题 　　【例3】　已知函数f (x)=ax3-x2-x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)=ex,f (x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+。 (1)求a,b的值。 (2)直线y=x+是否与函数g(x)的图象相切?若相切,求出切点的坐标;若不相切,请说明理由。 解　(1)f '(x)=3ax2-2x-1。因为f (x)的图象在x=-处的切线方程为y=x+,所以f