4.4 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.4*　数学归纳法 　　往一匹健壮的马身上放一根稻草,马毫无反应;再添加一根稻草,马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草,当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后,马竟不堪重负瘫倒在地。这在社会学里,取名为“稻草原理”。这也是多米诺骨牌效应的一个体现,其中更蕴含着一种递推的数学思想,下面我们来学习一下这种数学思想。 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 数学归纳法定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法。 微提醒 (1)验证是基础。 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点。 (2)递推是关键。 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化。关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项。 微思考 1.验证的第一个值n0一定是1吗? 提示:不一定,应根据实际情况确定n0的值。 2.在第二步证明中,可以不用归纳假设吗? 提示:在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”作为条件来推出“当n=k+1时命题也成立”,在书写f (k+1)时,一定要把包含f (k)的式子写出来,尤其是f (k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心。不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 用数学归纳法证明等式 　　【例1】　用数学归纳法证明:++…+=++…+(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,等式左边==,等式右边=,所以等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即++…+=++…+,则当n=k+1时,+…++=+… ++ =+…++-+=+…+++=+…++,所以当n=k+1时,等式也成立。由(1)(2)可知,等式对任意n∈N*都成立。 用数学归纳法证明与正整数n有关的等式问题时,要“先看项”,即弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加哪些项,减少哪些项。 　　【变式训练】　用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2。则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时,等式也成立。根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N*都成立。 类型二 用数学归纳法证明不等式 　　【例2】　用数学归纳法证明:++…+≥(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,左边=+=,所以当n=1时,不等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即++…+≥。那么当n=k+1时,+++…++++-≥+×3-=,所以当n=k+1时,不等式也成立。根据(1)和(2)可知,不等式对任何n∈N*都成立。 证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活,除综合法、作差比较法、分析法、反证法及放缩法外,数学归纳法也是常用的方法。在用数学归纳法证明时,第二步中已知f (k)>g(k),求证f (k+1)>g(k+1)时,应灵活运用上述证明不等式的一般方法。 　　【变式训练】　已知数列{an}满足a1=0,an≥0,3=+an+1(n∈N*)。 (1)用数学归纳法证明:1-≤an<1(n∈N*); (2)求证:an<an+1(n∈N*)。 证明　(1)当n=1时,结论显然成立。假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即1-≤ak<1,则3=+ak+1<3,又ak+1≥0,所以0≤ak+1<1。因为ak≥1-,所以3=+ak+1≥++1=-+3,所以≥1-+>,所以ak+1>1-,所以1-<ak+1<1,所以当n=k+1时,结论也成立。综上,1-≤an<1(n∈N*)成立。 (2)3-3=-2+an+1=-2an-2+,由(1)可知0≤an<1,所以-2+>0,所以3-3>0,所以a