4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 　　明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为:“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗,可以得出塔的顶层有3盏灯,你知道是怎样算出来的吗? 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题。 实际应用中的等比数列求和 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤如下: ①构建数列模型; ②由题设确定数列为等比数列,并求公比q,或建立数列递推关系,并化归为等比数列,求出公比q; ③利用等比数列前n项和公式进行计算。 微思考 1.日常生活中数列求和有许多应用,比如银行的存款、贷款业务,那么复利与单利有什么区别呢? 提示:复利是把上一期的本金和利息都作为下一期的本金计算,即“利滚利”,而单利只是把上一期本金也作为下一期的本金计算,不是“利滚利”。 2.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问几何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的。问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,试写出Sn的表达式。 提示:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2n-1,小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2-n-1,所以Sn=2n-1+2-n-1=2n-n-1+1。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 几何图形中的求和问题 　　【例1】　如图所示,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后再作新三角形的内切圆。如此下去,前n个内切圆的面积和为 π 。  解析　设第n个正三角形的内切圆的半径为an,因为从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的,每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的,所以a1=atan 30°=a,a2=a1,…,an=an-1,所以数列{an}是以a为首项,为公比的等比数列,所以an=×a,设前n个内切圆的面积为Sn,则Sn=π(++…+)=π=π1+++…+=×π=π=π。 此类几何问题可以转化为等比数列模型,利用等比数列的有关知识解决,要注意步骤的规范性。 【变式训练】　如图,画一个边长为2的正三角形,再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形,…,依此类推,一共画了5个正三角形。那么这五个正三角形的面积之和等于 (D) A.2 B. C. D. 解析　此五个正三角形的边长an形成等比数列:2,1,,,。所以这五个正三角形的面积之和=×=×=。 类型二 生活实践中的求和问题 　　【例2】　若某地区2019年人口总数为45万,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2020年开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.5万人,从2030年开始到2039年年底每年人口为上一年的99%。 (1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注:2020年为第1年); (2)若实施新政策后,从2020年到2039年年底平均每年的人口总数超过49万,则需调整政策,否则无须调整。试判断到2039年年底是否需要调整政策。(0.9910≈0.9) 解　(1)当1≤n≤10时,数列{an}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,所以an=45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n;当11≤n≤20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列,又a10=50,所以an=50×0.99n-10。故实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an= (2)设Sn为数列{an}的前n项和,结合(1)知,S20=S10+(a11+a12+…+a20)=10×45.5+×0.5+=477.5+4 950×(1-0.9910)≈972.5,因为≈48.625<49,故到2039年年底不需要调整政策。 本题注意:①数列项数的确定,特别是涉及年份的问题,要能正确确认起始年份;②正确判断问题是求数列的第n项,还是求数列的前n项和。 　　【变式训练】　某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个死去1个,2小时后分裂成6个死去1个,3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活的个数是 65 。  解析　设每个小时后细胞的存活数构成数列{an},则a1=2×2-1=3,a2=2×3-1=5,a3=2×5-1=9,…。由此得,a