4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 　　在信息技术高速发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息。在此背景下,要求每一个人都要“不造谣,不信谣,不传谣”,否则要依法承担有关法律责任。你知道这其中的缘由吗?其实这可由我们今天所要学的等比数列前n项和来解释。 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式。 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 公式 Sn= Sn= 2.错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法。 (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,可以用这种方法。 3.等比数列前n项和的性质 数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列。 微思考 1.等比数列的前n项和公式Sn=的适用条件是什么? 提示:公比q≠1。 2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为何值? 提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn=na。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等比数列前n项和的运算 　　【例1】　在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5; (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q。 解　(1)由题意,知解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=。 (2)解法一:由题意,知解得从而S5==。 解法二:由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=。又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5==。 (3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根。从而或又Sn==126,所以q为2或。 (1)在等比数列{an}的五个量,a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用。 (2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论。 　　【变式训练】　已知数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,且有5S2=4S4,求公比q的值。 解　当q=1时,由5S2=4S4知10a1=16a1,则a1=0,不合题意,故q≠1,当q≠1时,由5S2=4S4知=,所以5(1-q2)=4(1-q4),解得1+q2=,即q=±。 类型二 错位相减法求和 　　【例2】　已知数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N*),数列{bn}满足=an+1-an(n∈N*),且a1=b1,a3=5,a5+a7=22。 (1)求an及bn; (2)令cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn。 解　(1)由数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N*),可得数列{an}为等差数列,设其公差为d,易知d≠0,则数列{bn}满足=an+1-an=d(n∈N*),所以数列{bn}为等比数列。由题意有解得故an=2n-1。由=2,且b1=a1=1,可得bn=2n-1。 (2)由(1)得cn=anbn=(2n-1)·2n-1,则数列{cn}的前n项和Sn=1·20+3·21+5·22+…+(2n-1)·2n-1　①,2Sn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n　②,由①-②,得-Sn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2·-(2n-1)·2n,化简可得Sn=3+(2n-3)·2n。 错位相减法求和的适用情况和注意点 一般地,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列且公比为q(q≠1),求{anbn}的前n项和时,常用“乘公比,错位减”的方法求和,即错位相减法。在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式。 在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点:①乘数(式)的选择;②对q的讨论;③两式相减后各项间呈现的规律;④可构成数列的项的项数。 　　【变式训练】　已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=,{bn}的前n项和为Tn,求Tn。 解　(1)设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d,则d>0。因为S3