4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　等比数列的性质及应用 　　观察等比数列:2,4,8,16,32,64,128,256,…。 可以发现:162=8×32=4×64=2×128,即=a3a5=a2a6=a1a7。 观察项的角标满足什么关系?由此你能得到什么固定的结论吗? 1.熟悉等比数列的有关性质。 2.掌握等比数列在实际中的应用。 3.掌握等比数列与等差数列的综合应用。 1.等比数列的常用性质 (1)an=am·qn-m(m,n∈N*)。 (2)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有am·an=ak·al。 特别地,如果m+n=2k(m,n,k∈N*),则有am·an=。 (3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列。 (4)在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。 (5)如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{anbn},,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,|q1|。 (6)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2an-1=a3·an-2=…。 2.等比数列的单调性 公比q 单调性首 项 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 递增 数列 递减 数列 常数 数列 摆动 数列 a1<0 递减 数列 递增 数列 3.等比数列的实际应用 实际生活中常会遇到增长率问题,如果增长量是个常量,则与等差数列有关;如果增长率是个常量,则与等比数列有关。 微思考 1.已知等比数列{an},取其奇数项组成一个新数列,则此数列是否为等比数列?若取偶数项呢? 提示:设等比数列{an}的公比为q,其奇数项为a1,a3,a5,…,是公比为q2的等比数列;同样,偶数项也是公比为q2的等比数列。从等比数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等比数列。 2.设数列是各项为正数的等比数列,那么{lg an}还是等比数列吗? 提示:不是,{lg an}是等差数列。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等比数列性质的应用 　　【例1】　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= (A) A.5 B.7 C.6 D.±5 解析　解法一:由等比中项的性质知a1a2a3==5,a7a8a9==10,所以a2a8=5,所以a4a5a6==()3=(5)3=5。 解法二:由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比数列,所以(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a4a5a6)2,所以a4a5a6=±=±5。又数列各项均为正数,所以a4a5a6=5。 (2)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= (C) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 解析　解法一:由a5·a2n-5=22n得a1q4·a1q2n-6=q2n-2=22n,所以(a1qn-1)2=(2n)2。又an>0,所以a1qn-1=2n。故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3·…·a2n-1)=log2(q2+4+…+2n-2)=log2[qn(n-1)]=log2[(a1qn-1)n]=log2[(2n)n]=n2。 解法二:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,因为an>0,所以an=2n。取特殊值,如令n=2,则log2a1+log2a3=log2(2·23)=log224=4。只有C选项符合。 解法三:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,因为an>0,所以an=2n。于是log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2。 应用等比数列的性质解题的策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题。 (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用:①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=进行求解。 　　【变式训练】　(1)等比数列{an}中,a2=3,a7a10=36,则a15等于 (A) A.12 B.6 C.-12 D.-6 解析　由a2a15=a7a10,得a15===12,故选A。 (2)在等比数列