4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 　　观察下面几个问题中的数列,回答下面的问题。 ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今天出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” 构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98。 ②-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、…,依次排成一列数:-,,-,,…; 类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律? 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等比数列与指数函数的关系。 1.等比数列的概念 文字 语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 =q(q为常数,q≠0,n∈N*) 2.等比中项 (1)前提:三个数a,G,b成等比数列。 (2)结论:G叫做a,b的等比中项。 (3)满足的关系式:G2=ab。 3.等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有公式an=a1·qn-1。这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比。 4.等比数列与指数函数的关系 由an=·qn可知,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数f (x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f (n)(如图所示)。 反之,任给指数函数f (x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f (1)=ka,f (2)=ka2,…,f (n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a。 微提醒 1.等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要,切记不可丢掉。 2.公比q可正,可负,但不能为0,它是一个与n无关的非零常数。 微思考 1.定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗? 提示:不可以。因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”。 2.任意两个实数a,b都有等比中项吗? 提示:不一定,只有a,b同号时才有等比中项。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等比数列的概念 　　【例1】　(1)判断下列数列是否为等比数列。 ①1,3,32,33,…,3n-1,…; ②-1,1,2,4,8,…; ③a1,a2,a3,…,an,…。 解　①记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…,因为==3(n≥2,n∈N*),所以数列为等比数列,且公比为3。 ②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,因为=-1≠=2,所以此数列不是等比数列。 ③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a。 (2)已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否为等比数列。 解　an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2)。当n≥2时,==2;当n=1时,==。故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列。 判断一个数列{an}是等比数列的基本方法是定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列。 　　【变式训练】　(1)下列所给数列中,等比数列的序号是 ①③ 。  ①1,1,1,1,1,…;②0,1,2,4,8,…;③2-,-1,2+,…;④,2,4,8,16,…。 (2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式。 解　因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1)。由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0。所以=2(n∈N*),所以{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1。 类型二 等比中项 　　【例2】　(1)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab= (C) A.6 B.-6 C.±6 D.±12 解析　依题意知2a=1+2,b2=(-1)×(-16),解得a=,b=±4,所以ab=±6。 (2)有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间两个数的和为18,求这四个数。 解　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a。由题意得解得q=2或q=。当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12