4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 　　等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题。 1.会利用等差数列的性质简化求和运算。 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 3.会利用等差数列前n项和解决一些实际问题。 1.等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为。 (2)若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d。 (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=。 2.等差数列前n项和及其最值 (1)前n项和公式:Sn=na1+d=n2+n。 (2)等差数列前n项和的最值。 ①在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定。 ②因为Sn=n2+n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值。 微思考 1.在等差数列{an}中,当a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 提示:当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值。 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 提示:因为an=2n-37,an+1-an=2>0,所以{an}为递增数列。由an=2n-37≥0,得n≥18.5。所以a18<0,a19>0,所以S18最小,即当n=18时,Sn取得最小值。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等差数列前n项和的性质应用 　　【例1】　(1)等差数列前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为 (C) A.130 B.170 C.210 D.260 解析　由等差数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,得Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),即30+(S3n-100)=2×(100-30),解得S3n=210。 (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于 10 。  解析　因为等差数列共有2n+1项,所以S奇-S偶=an+1=,即132-120=,解得n=10。 (3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=  。  解析　由等差数列前n项和的性质,知=====。 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解。 (2)待定系数法:利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算。 (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解。 　　【变式训练】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18等于 (A) A.36 B.18 C.72 D.9 解析　由S3,S6-S3,…,S18-S15成等差数列,知S18=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+…+(S18-S15)==36。 (2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn',如果=(n∈N*),则的值是 (C) A. B. C. D. 解析　由等差数列前n项和的性质,得======。 类型二 等差数列前n项和的最值问题 　　【例2】　在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值。 解　解法一:因为S9=S17,a1=25,所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2。所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169。所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法二:同解法一,求出公差d=-2。所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27。因为a1=25>0,由得又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法三:同解法一,求出公差d=-2。因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0。由等差数列的性质,得a13+a14=0。所以a13>0,a14<0。所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法四:同解法一,求出公差d=-2。设Sn=An2+Bn。因为S9=S17,所以二次函数对称轴为n==13,且开口方向向下,所