4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　等差数列的性质及应用 　　同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了可以从函数的视角认识等差数列,在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数的数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质。 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题。 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一个固定常数;当d≠0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点。 2.等差数列通项公式的变形及推广 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N*)。 (2)an=am+(n-m)d(m,n∈N*)。 (3)d=(m,n∈N*,且m≠n)。 3.等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq。 ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak。 ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…。 (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列。 (3)若{an}是公差为d的等差数列,则: ①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列。 ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列。 ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列。 (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列。 (5){an}的公差为d,则d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列。 微思考 1.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap成立吗? 提示:不一定。如数列1,2,3,4,…,满足a1+a2=a3;而数列1,1,1,1,…,则不满足a1+a2=a3。 2.d=,d=,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗? 提示:等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直线上的点。d为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an)连线的斜率d=。当两点为(n,an),(m,am)时,有d=。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等差数列的“子数列”性质 　　【例1】　已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75。 解　因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为第4项,所以a60=a15+3d,得d=4,所以a75=a60+d=24。 (1)关于等差数列中“子数列”性质的应用问题。若已知am,an,求ap,①可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap;②也可以利用等差数列通项公式的推广公式直接求解;③若m,n,p有一定规律,可以构造新的等差数列求解。 (2)等差数列的公差本质上是相应直线的斜率,所以类比直线的斜率公式可得出d=。 　　【变式训练】　(1)已知等差数列{an}中,若a5=8,a10=20,求a15。 解　解法一:因为a5,a10,a15成等差数列,所以a5+a15=2a10,所以a15=2a10-a5=2×20-8=32。 解法二:因为{an}为等差数列,设其公差为d,所以a10=a5+5d,所以20=8+5d,所以d=,所以a15=a10+5d=20+5×=32。 (2)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,求a5+b5的值。 解　解法一:设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35。 解法二:因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an+bn}也构成等差数列,所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)。所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35。 类型二 等差数列“下标和”性质的应用 　　【例2】　(1)在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值。 解　解法一:根据等差数列性质a2+a10=a4