4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 　　我国有用十二生肖纪年的习惯,例如:2021年是牛年,从2021年开始,牛年的年份为2021,2033,2045,2057,2069,2081,…。这些年份有什么特点? 1.通过生活实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等差数列与一次函数的关系。 1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b。 3.等差数列的通项公式 (1)通项公式:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d。 (2)等差数列与一次函数的关系: ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f (x)=dx+(a1-d)上。 ②任给一次函数f (x)=kx+b(k,b为常数),则f (1)=k+b,f (2)=2k+b,…,f (n)=nk+b,构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k。 微思考 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差是常数,那么这个数列是等差数列吗? 提示:不一定。如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列,因此等差数列的定义中强调“差都等于同一个常数”。 2.任何两个数都有等差中项吗? 提示:任何两个数都有等差中项。 3.数列{an}的通项公式是an=2n+3,则数列{an}是等差数列吗? 提示:是等差数列,其公差是2。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等差数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9。 解　(1)由题意,知解得 (2)由题意,知解得所以a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17。 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程,通过列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量。 　　【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 (C) A.-14 B.-7 C.7 D.14 解析　因为a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7。 (2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9= (C) A.12 B.18 C.24 D.30 解析　因为在等差数列{an}中,a5+a10=12,所以2a1+13d=12,3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24。 类型二 等差中项 　　【例2】　(1)等差数列的前3项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为 (B) A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 解析　因为x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3项,所以2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0。所以a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,所以d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3。 (2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数。 解　解法一:设这三个数为a,b,c,且a<b<c,则由题意,得解得所以这三个数是4,6,8。 解法二:设这三个数为a-d,a,a+d,由已知,得由①,得a=6。代入②,得d=±2。因为该数列是递增的,所以d=2(-2舍去)。所以这三个数为4,6,8。 等差中项的应用策略 (1)求两个数x,y的等差中项,即根据等差中项的定义得A=。 (2)当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d。利用和为定值先求出其中某个未知量,再进一步解题。 　　【变式训练】　(1)已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (A) A. B. C. D. 解析　a,b的等差中项为×+=×(-++)=。 (2){an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d= (C) A.2 B. C.1 D. 解析　因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1