4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时　数列的递推公式及前n项和 　　《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题:如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第3个月里,又能生1对小兔子。在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,每月月末的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列。 1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题。 2.掌握数列的前n项和Sn与通项公式an的关系。 1.递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 2.数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an。 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有an= 微提醒 递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项。 微思考 1.数列1,2,4,8,…的第n项an与第n+1项an+1有什么关系?所有的数列都有递推公式吗? 提示:an+1=2an。与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式,如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式。 2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,对吗? 提示:不正确。当n≥2时上述推导正确,当n=1时,a1=2,不适合an=2n-1。所以an= 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 由递推公式求数列的项 　　【例1】　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出。 (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项。 解　(1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8。故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8。 (2)因为bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,所以b1==,b2==,b3==,b4==。故{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=。 递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系。对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;而递推公式则需要知道首项(或前几项),才能依次求得其他各项。若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性。 　　【变式训练】　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第2 022项? 解　a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…。规律:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6。证明如下:因为an+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an。所以an+6=-an+3=-(-an)=an。所以数列{an}是周期数列,且T=6。所以a2 022=a336×6+6=a6=-1。 类型二 由递推公式求通项公式 　　命题方向1:累加法求通项公式 　　【例2】　已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求数列的通项公式。 解　因为an+1-an=,所以a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;…;an-an-1=;以上各式累加得,an-a1=++…+=1-+-+…+-=1-。因为a1=-1,所以an+1=1-,所以an=-(n≥2)。又因为n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-。 用“累加法”求数列的通项公式 当an-an-1=f (n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求通项公式。 　　【变式训练】　在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+,求数列的通项公式。 解　an+1-an=ln1+=ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥