4.1 第1课时 数列的概念与表示-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第四章 数列 ▶导语:数列是一类特殊的函数,是数学重要的研究对象,是研究其他函数的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用。本章通过对具体例子的分析,抽象出了数列的概念,通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律,并运用它们解决了一些问题。 要点精准概括 3个重要概念:数列、等差数列、等比数列 4个重要公式:等差数列通项公式、等差数列前n项和公式、等比数列通项公式、等比数列前n项和公式 5种重要关系:数列与函数、等差数列与一次函数、等差数列前n项和与二次函数、等比数列与指数函数、数列的递推公式与通项 2种重要性质:等差数列的性质、等比数列的性质 3种重要应用:等差数列的实际应用、等比数列的实际应用、递推数列的实际应用 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 冬奥会每四年举办一次。第17届冬季奥运会是在1994年举办的,2022年举办了北京冬奥会,那么北京冬奥会是第多少届?经过列举得到一列数:1 994,1 998,2 002,2 006,2 010,2 014,2 018,2 022。显然北京冬奥会是第24届冬奥会,这就是今天我们要学习的数列。 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。 1.数列的概念 (1)数列与数列的项。 ①数列:按照确定的顺序排列的一列数称为数列。 ②数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示。其中第1项也叫做首项。 (2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}。 (3)数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f (n)。 2.数列的表示方法 (1)表示方法:解析式法、表格法、图象法。 (2)数列的单调性。 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 微提醒 1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1,…就是不同的数列。 2.数列的通项公式就是数列的函数解析式,同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式。 微思考 1.数列与集合之间有怎样的区别与联系? 提示:区别:数列中的项具有有序性、可重复性,集合中的元素具有无序性、互异性;数列中的每一项必须是数,集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等。 联系:数列中的项与集合中的元素都具有确定性。 2.{an}与an是两个相同的概念吗? 提示:不是,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,而an只是数列{an}的第n项。 3.函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别? 提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线。an=2n的自变量是离散的,图象由离散的点构成。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 由数列前几项写出数列的通项公式 　　【例1】　写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-1,,-,; (2),2,,8; (3)0,1,0,1; (4)9,99,999,9 999。 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*。 (2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,,,,…,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*。 (3)这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是1,所以通项公式可以写成an=也可以写成an=(n∈N*)或an=(n∈N*)。 (4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*。 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等。 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式。 (3)对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号。 (4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,