第5章 专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题（课件PPT）-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 一元函数的导数及其应用 专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 第五章　专题 用导数的方法证明不等式、不等式恒成立问题 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 类型一 证明不等式 　　【例1】　已知函数f (x)=x2ex-1-x3-x2。 (1)讨论函数f (x)的单调性; (2)设g(x)=x3-x2,求证:对任意实数x,都有f (x)≥g(x)。 解　(1)f '(x)=x(x+2)(ex-1-1)(x∈R),由f '(x)=0得x1=-2,x2=0,x3=1。当-2<x<0或x>1时,f '(x)>0;当x<-2或0<x<1时,f '(x)<0,所以函数f (x)在(-2,0)和(1,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和(0,1)上单调递减。 (2)证明:f (x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x)。设h(x)=ex-1-x,则h'(x)=ex-1-1,由h'(x)=0得x=1,则当x<1时,h'(x)<0,即函数h(x)在(-∞,1)上单调递减;当x>1时,h'(x)>0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递增。因此,当x=1时,h(x)取最小值h(1)=0。即对任意实数x都有h(x)≥0,又x2≥0,所以f (x)-g(x)≥0,故对任意实数x,恒有f (x)≥g(x)。 利用导数解决不等式问题的策略 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等),其实质就是利用导数研究函数的单调性。而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关,因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后讨论这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点处的函数值求解问题。 要证不等式f (x)>g(x),则构造函数φ(x)=f (x)-g(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助导数解决。 　【变式训练】　设函数f (x)=ln x-x+1。 (1)讨论f (x)的单调性; (2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x。 解　(1)依题意,f (x)的定义域为(0,+∞)。f '(x)=-1,令f '(x)=0,得x=1。所以当0<x<1时, f '(x