专题04 基本不等式（4知识点+6题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题04 基本不等式（4知识点+6题型）基本不等式 常考题型 常见求最值模型 均值定理 基本不等式 重要不等式 题型一：直接法求最值 题型二：”1”的代换利用基本不等式求最值 题型三：消元法求最值 题型四：“一次或二次”型求最值 题型五：常见拆、凑、配、分离等方法凑基本不等式求最值 题型六： 利用基本不等式解决实际问题 知识点一：重要不等式 重要不等式 (1)若任意，则 当且仅当时，等号成立 (2)公式变形：.当且仅当时，等号成立 知识点二、基本不等式 基本不等式 （1）如果，当且仅当时，等号成立。 其中，叫作正数的算术平均数，作正数的几何平均数。因此基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 （2）变形公式： （3）用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” （4）重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 知识点三：均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 知识点四：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一、直接法求最值 解题思路：利用基本不等式直接求最值 （1）通过简单数据处理在直接利用基本不等式求最值 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立； 例1．（多选题）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．最小值等于4 C．当 D．函数最小值为 例2．已知，若的最小值是6，则 ． 例3．已知且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D．12 变式训练： 4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．若正数满足，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．36 D．81 6．（多选题）下列结论正确的是（    ） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值是5 题型二、”1”的代换利用基本不等式求最值 解题思路：利用基本不等式直接求最值（关键就是凑倒数形式） （1）1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． （2）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法，得到基本不等式的倒数形式 （3）利用基本不等式求最值，注意验证取得条件． 例1．两个正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．4 例3．（多选题）已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最大值为 变式训练 4．若正数满足，则的最小值是 . 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 7．已知，则的最小值是 ． 8．设函数， (1)若，求不等式的解集． (2)若时，，且，，求的最小值． 题型三、消元法求最值 解题思路：利用消元法和基本不等式求最值 （1）消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数； （2）再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例1．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．若，，且，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．13 D．16 例3．已知，，，则的最小值为 ． 变式训练： 4．已知，，且，则的最小值为 . 5．若正数，满足，则的最大值为 ． 6．已知，且，则的最小值为 . 题型四、“一次或二次”型求最值 解题思路：利用“二元”和基本不等式求最值 （1） 通过换元或者分离常数的方法凑出基本不等式的形式。 （2） 再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例1．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 例2．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 变式训练： 4．若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 5．函数的最小值为 ． 6．函数的值域是 ． 7．（多选题）下列函数中，最小值为