专题03 等式性质与不等式性质（3知识点+2题型+3考法）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题03 等式性质与不等式性质（3知识点+2题型+3考法）等式性质与不等式性质 常考题型 比较大小（证明不等式） 不等式性质 等式性质 题型一：不等式性质的应用 题型二： 比较数（式）的大小与证明不等式 考法1：利用不等式性质比较大小 考法2：利用不等式性质求取值范围 考法3：不等式的实际应用 知识点一：等式性质 1. 等式的基本性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （对称性） （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （传递性） （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （同加（减）性） （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （同乘性） （5）如果a＝b，c≠0，那么＝. （同除性） 知识点二、不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc ；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点三：比较大小（证明不等式） （1）作差比较法 ①理论依据： ②一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。 ③作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。 （2）作商比较法 ①理论依据：设。 ②一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。 ③当时，也可以用作商比较法，但结论相反 （3）介值比较法 ①理论依据：若，其中是的中介值 ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。 （4）平方比较法 ①理论依据：若 ③平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。 题型一：不等式性质的应用 考法1：利用不等式性质比较大小 解题思路：利用不等式性质比较大小方法 （1）判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． （2）充分利用基本初等函数性质进行判断． （3）小题可以用特殊值法做快速判断． 例1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 例4．下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）对于实数，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 8．（多选题）如果，则下列选项不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选题）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 考法2：利用不等式性质求取值范围 解题思路：利用不等式的性质求取值范围的方法 (1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解． (2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围． 可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围． 例1．（多选题）已知，，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 变式训练 4．（多选题）已知，则（    ） A．的取值范围为（－5，0） B．的取值范围为（4，7） C．的取值范围为（2，5） D．的取值范围为（－6，－1） 5．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的取值范围为_________ 7．（多选题）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则的取值范围是（       ）