3.3 幂函数-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

3．3幂函数 【考点梳理】 考点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 考点二：五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 考点三：一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义 1．（2023·全国·高一）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：幂函数的定义域和值域 参数问题 4．（2023秋·全国·高一专题练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 5．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为减函数 6．（2022秋·江苏·高一淮阴中学校考期中）已知幂函数，，若有下列四个判断：①定义域是；②值域是；③该函数是偶函数；④在单调递增，其中恰有三个正确，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 8．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 9．（2023·全国·高一课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） 10．（2023秋·全国·高一专题练习）若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则（    ） A． B．或 C． D．或 11．（2023·全国·高一专题练习）幂函数在上单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·重庆·高一校联考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：幂函数的综合性问题 13．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知幂函数 (1)求的解析式； (2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； (3)若图像经过坐标原点，解不等式. 14．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 15．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【双基达标】 一、单选题 16．（2023·全国·高一专题练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 17．（2023春·甘肃白银·高一统考开学考试）若幂函数在上单调递增，则（    ） A．-3或3 B．3 C．4 D．-4或4 18．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（2023·全国·高一专题练习）记，则（    ） A． B． C．