3.2.1 单调性与最大(小)值-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

3.2.1单调性与最大(小)值 【考点梳理】 重难点：单调性 考点一：增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 考点二：函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 重难点：函数的最大(小)值 考点一：函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 考点二：求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【题型归纳】 题型一：函数单调性的判定与证明 1．（2023秋·全国·高一）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 2．（2023·全国·高一）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 3．（2023·全国·高一）求函数的单调递减区间． 题型二：根据函数的单调性求参数范围 4．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：复合函数的单调性 7．（2022·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2022·高一课时练习）若函数区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据函数的单调性解不等式 10．（2023秋·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：根据函数的单调性求值域 13．（2022秋·江西·高一江西师大附中校考期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 14．（2022春·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值之和为（    ） A． B． C．4 D．8 15．（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，函数，则此函数的最小值是（    ） A． B． C． D．不存在 题型六：函数不等式恒成立问题 16．（2023·全国·高一专题练习）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2021秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第十五中学校校考期中）对于任意x∈[-2，2]，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A． B．m≤-2 C．m≤0 D．m≤4 18．（2021·全国·高一专题练习）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数的单调性的综合问题 19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求在上的最大值