第四章 5 相似三角形判定定理的证明-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

*5　相似三角形判定定理的证明 ▶ “答案与解析”见P38 1. 如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC= 6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的涂 色三角形与原三角形不相似的为 ( ) A. B. C. D. (第1题) (第2题) 2. (2023·上海徐汇期末)如图,在△ABC 中, ∠ACB=90°,E 为BC 上的一点,过点E 作 DE⊥AB,垂足为D,并交AC 的延长线于 点F,连接AE.若AE=6,CE=2,则FCBC= . 3. 如图,AB∥CD,AF=BF,CE=BE.求证: OC2=OD·OF. (第3题) 4. 如图,P 为线段AB 上的一点,AD 与BC 交 于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC 与PD 交 于点F,AD 与PC 交于点G,则图中相似三 角形有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 (第4题) (第5题) 5. (2022·金华)如图所示为一张矩形纸片 ABCD,E 为AD 的中点,点F 在BC 上,把 该纸片沿EF 折叠,点A,B 的对应点分别为 A',B',A'E 与BC 相交于点G,B'A'的延长 线过点C.若BFCG= 2 3 ,则AD AB 的值为 ( ) A. 22 B. 410 5 C. 20 7 D. 8 3 6. (2022·宿州灵璧模拟)如图,在Rt△ABC中, ∠ABC=90°,AB=3,BC=4.在Rt△MPN 中,∠MPN=90°,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F.当PE=2PF 时, AP= . (第6题) 7. 如图,E 是正方形ABCD 的对角线AC 上的 一个动点(不与点A,C 重合),过点E 作 EF⊥AC,交边BC 于点F,连接AF,BE 交 于点G. (1) 求证:△CAF∽△CBE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 66 数学(北师版)九年级上 {#{QQABJQYAggAIABJAAQgCQwHACkKQkAACCCoGBAAIIAAAgRNABAA=}#} (2) 若 AF 平 分 ∠BAC,求 证:AC2 = 2AG·AF. (第7题) 8. 已知E 是矩形ABCD 的边AD 上的一点,将 矩形ABCD 沿BE 折叠,点A 恰好落在BD 上的点F 处. (1) 如图①,若AB=3,AD=4,求AE 的长. (2) 如图②,若F 恰好是BD 的中点,M 是 BD 上的一点,过点 M 作MN∥BE,交AD 于点N,连接EM,MN 平分∠EMD.求证: DN·DE=DM·BM. (第8题) 9. (2022·常德)在四边形ABCD 中 ∠BAD 的 平 分 线 AF 交 BC 于 点F,延长AB 到点E 使BE=CF G 是AF 的 中 点,GE 交 BC 于 点 O,连 接GD. (1) 如 图 ①,当 四 边 形 ABCD 是 矩 形 时,求证: ① EG=DG. ② BO·GD=GO·CF. (2) 如图②,当四边形ABCD 是平行四边形 时,(1)中的结论都成立.请给出结论②的 证明. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 76 第四章　图形的相似 {#{QQABJQYAggAIABJAAQgCQwHACkKQkAACCCoGBAAIIAAAgRNABAA=}#} ∠DTM, ∴ ∠DTM=∠DAN. 又∵ ∠MDT=∠TDA, ∴ △MDT∽△TDA. ∴ MD TD= DT DA. ∴ DT2=MD·AD. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠TND=∠EAT. 又∵ ∠EAT=∠ATE,∠ATE= ∠DT