第二章 6 第1课时几何问题与古代趣题-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

6　应用一元二次方程 第1课时 几何问题与古代趣题 ▶ “答案与解析”见P19 1. (2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去 买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株 椽.”其大意如下:现请人代买一批椽,这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是 3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰 好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少 株椽? 设这批椽的数量为x 株,则符合题意 的方程是 ( ) A. 3(x-1)x=6210B. 3(x-1)=6210 C. (3x-1)x=6210D. 3x=6210 2. (2023·锦州期末)我国南宋数学家杨辉在 《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题: 直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二 步.问阔及长各几步? 意思如下:矩形的面积 为864平方步,宽比长少12步.问宽和长各 几步? 若 设 长 为 x 步,则 可 列 方 程 为 . 3. 如图,A,B,C,D 为矩形的四个顶点,AB= 16cm,AD=8cm,动点P,Q 分别从点A,C 同时出发,点P 以3cm/s的速度向终点B 移动,点Q 以2cm/s的速度向终点D 移动, 当其中一点到达终点时,另一点也随之停止 移动.经过多长时间,点P,Q 之间的距离 是10cm? (第3题) 4. 《九章算术》中有一题:今有二人同立,甲行率 七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北 与乙会,问甲乙各行几何? 大意如下:甲、乙 二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙 的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走 10步,再斜向北偏东方向走了一段后与乙相 遇.甲、乙各走了多少步? 甲走的步数是 . 5. (2023·三明期末)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AB=50cm,AC=40cm,点P 从点C 开 始沿边CA 向点A 以4cm/s的速度运动,同 时,另一点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以 3cm/s的速度运动. (1) 经过几秒,PQ 的长是15cm? (2) 经过几秒,△PCQ 的面积是△ABC 面积 的1 4 ? (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 第二章　一元二次方程 {#{QQABJQYAggAIAAAAAAgCQwHwCEGQkBACCKoGwBAIIAAAgQNABAA=}#} 6. 如图,有一块长为10、宽为4的矩形塑料模板 ABCD,将足够大的直角三角尺PHF 的直 角顶点P 落在边AD 上(不与点A,D 重 合),在AD 上适当移动三角尺的顶点P,则 能否使三角尺的两直角边分别经过点B,C? 若能,请求此时AP的长;若不能,请说明理由. (第6题) 7. 如图,一艘轮船以40km/h的速度由西向东 航行,在途中点C 处接到台风警报,台风中 心点B 正以20km/h的速度由南向北移动. 已知距台风中心200km的区域(包括边界) 都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报 时,测得BC=500km,AB=300km(假定轮 船不改变航向). (1) 经过11h后轮船与台风中心相距多远? 此时轮船是否受到台风的影响? (2) 如果这艘轮船受到台风的影响,求轮船 受到台风影响的时间. (第7题) 8. 如 图,在 △ABC 中,∠B =90°, AB=6cm,BC=8cm. (1) 点P 从点A 开始沿边AB 向点 B 以1cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始 沿边BC 向点C 以2cm/s的速度移动.如果 点P,Q 分别从点A,B 同时出发,那么经过 几秒,△PBQ 的面积为8cm2? (2) 在(1)的条件下,线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分? 若能,求出移动时 间;若不能,请说明理由. (3) 若点P 沿射线AB 方向从点A 出发以 1cm/s的速度移动,同时,点Q 沿射线CB 方向从点C 出发以2cm/s的速度移动,则经 过几秒,△PBQ 的面积为1cm2? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈