第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

4　用因式分解法求解一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P18 1. 下列用因式分解法解方程正确的是 ( ) A. ∵ (2x-2)(3x-4)=0,∴ 2x-2=0或 3x-4=0 B. ∵ (x+3)(x-1)=1,∴ x+3=0或x- 1=1 C. ∵ (x-2)(x-3)=2×3,∴ x-2=2或 x-3=3 D. ∵ x(x+2)=0,∴ x+2=0 2. (2022·梧州)一元二次方程(x-2)(x+ 7)=0的根是 . 3. 解下列方程: (1) (y+2)(2y+3)=6. (2) x-3=4(x-3)2. (3) 4(2x-1)2=9(x+4)2. (4) (x2-1)2-6(x2-1)+9=0. 4. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的 两根为-3,5,则x2+bx+c分解因式的结果 是 . 5. (2023·济南期末)阅读材料: 用“十字相乘法”分解因式2x2- x-3. 如图,二次项系数2=1×2,常数项-3= -1×3=1×(-3),验算“交叉相乘之和”.发 现第③个“交 叉 相 乘 之 和”的 结 果1× (-3)+2×1=-1,等于一次项系数-1,即 (x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2- x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). (第5题) 像这样,通过十字交叉线,把二次三项式分解 因式的方法,叫做十字相乘法. 仿照以上方法,解答下列问题: (1) 分解因式:3x2+5x-12= . (2) 解方程: ① x2-3x+2=0. ② 3x2+10x-8=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第二章　一元二次方程 {#{QQABJQYAggCAAABAAQhCQwXwCEGQkAACAKoGhAAAIAAAARNABAA=}#} 16(不合题意,舍去). ∴ 题图中x的值为2. 4　用因式分解法求解 一元二次方程 1. A 2. x1=2,x2=-7 3. (1) y1=0,y2=- 7 2. (2) x1=3,x2= 13 4. (3) x1=- 10 7 ,x2=14. (4) x1=2,x2=-2. 4. (x+3)(x-5) [解析]∵ 关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两 根为-3,5,∴ (x+3)(x-5)=0. ∴ x2+bx+c 分解因式的结果是 (x+3)(x-5). 5. (1) (x+3)(3x-4). (2) ① 方程可以化为(x-1)(x- 2)=0,即x-1=0或x-2=0. ∴ x1=1,x2=2. ② 方程可以化为(3x-2)(x+4)= 0,即3x-2=0或x+4=0. ∴ x1= 2 3 ,x2=-4. *5　一元二次方程的根 与系数的关系 1. D 2. 3 3. -1 4. 2 [解析]由题意,得x1+x2= 3x2=3,解得x2=1.将x=1代入 x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0, 解得k=2. 5. 4 3 6. 2 7. (1) 由题意,得Δ=(2k+1)2- 4(k2+1)>0,解得k>34. (2) 由题意,得x1x2=k2+1. ∵ x1x2=5, ∴ k2+1=5,解得k1=-2,k2=2. ∵ k>34 , ∴ k=2. 8. A [解析]∵ 方程x2-(2m- 1)x+m2=0的两个实数根为x1, x2,∴ x1+x2=2m-1,x1x2=m2. ∵ (x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+ x2+1=3,∴ m2+2m-1+1=3,解 得m1=1,m2=-3.∵ 方程有两个实 数根,∴ Δ=(2m-1)2-4m2≥0,解 得m≤14.∴ m=-3.故选A. 9. A [解析]∵ m,n是一元二次方 程x2+2x-5=0的两个根,∴ m+ n=-2,mn=-5.∵ m 是x2+2x- 5=0的一个根,∴ m2+2m-5=0, 即m2+2m=5.∴ m2+mn+2m= m2+2m+mn=5-5=0.