第一章 1 第3课时菱形的性质与判定的应用-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第3课时 菱形的性质与判定的应用 ▶ “答案与解析”见P3 1. 如图,四边形ABCD 的四边相等,且面积为 30cm2,对角线AC=12cm,则四边形ABCD 的周长为 ( ) A. 26cm B. 20cm C. 19.5cm D. 13cm (第1题) (第2题) 2. 如图,在∠MON 的两边上分别截取OA, OB,使OA=OB;分别以点A,B 为圆心, OA 长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC, BC,AB,OC.若AB=2cm,四边形OACB 的面积为4cm2,则OC 的长为 cm. 3. (2021·凉山州)在菱形ABCD 中,对角线 AC=10,BD=24,则菱形的高为 . 4. (2022·滨州)如图,菱形ABCD 的边长为 10,∠ABC=60°,对角线AC,BD 相交于点 O,点 E 在 对 角 线 BD 上,连 接 AE,作 ∠AEF=120°且边EF 与直线DC 相交于 点F. (1) 求菱形ABCD 的面积. (2) 求证:AE=EF. (第4题) 5. ★如图,在菱形ABCD 中,AB=5,AC=6,过 点D 作DE⊥BA,交BA 的延长线于点E, 则线段DE 的长为 ( ) (第5题) A. 12 5 B. 18 5 C. 4 D. 24 5 6. 已知菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的 两条对角线的长度之和为 . 7. (2021·十堰)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,过点D 作DE⊥AC 交BC 于点E,过点A 作AF∥BC 交ED 的延长线于点F,连接AE,CF. (1) 求证:四边形AECF 是菱形. (2) 若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°,求 AB 的长. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 第一章　特殊平行四边形 {#{QQABJQaAggAAAAIAAAhCQwGQCkGQkAACCAoGwBAIIAAAQQNABAA=}#} 8. (1) ∵ AB=AD,CB=CD,AC=AC, ∴ △ABC≌△ADC. ∴ ∠BAC =∠DAC. ∵ AB =AD,∠BAF = ∠DAF, AF=AF, ∴ △ABF≌△ADF. ∴ ∠AFB=∠AFD. 又∵ ∠CFE =∠AFB, ∴ ∠AFD=∠CFE. (2) ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAC=∠ACD. 由(1),得∠BAC=∠DAC. ∴ ∠DAC=∠ACD. ∴ AD=CD. ∵ AB=AD,CB=CD, ∴ AB=CB=CD=AD. ∴ 四边形ABCD 是菱形. (3) 当BE⊥CD 时,∠EFD=∠BCD. 理由:由(2),得 四 边 形 ABCD 是 菱形. ∴ CB=CD,∠BCF=∠DCF. 又∵ CF=CF, ∴ △BCF≌△DCF. ∴ ∠CBF=∠CDF. ∵ BE⊥CD, ∴ ∠BEC =∠DEF=90°. ∴ ∠BCE+∠CBE=90°,∠EFD+ ∠EDF=90°. ∴ ∠EFD =∠BCD. 9. (1) EG 与HF 互相垂直平分. 理由:如图①,连接AD,BC. ∵ ∠APC=∠BPD, ∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△APD 和△CPB 中, PA=PC, ∠APD=∠CPB, PD=PB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APD≌△CPB. ∴ AD=CB. ∵ E,F,G,H 分别是AC,AB,BD, CD 的中点, ∴ EF,FG,GH,HE 分别是△ABC, △ABD,△BCD,△ACD 的中位线. ∴ EF=GH=12CB ,HE=FG= 1 2AD. 又∵ AD=CB, ∴ EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形EFGH 是菱形. ∴ EG 与HF 互相垂直平分. (2) 结论仍成立. 理由:如图②,连接AD,BC. ∵ ∠APC=∠BPD, ∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△A