第一章 1 第2课时菱形的判定-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第2课时 菱形的判定 ▶ “答案与解析”见P2 1. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于 点O,添加下列条件,不能判定▱ABCD 是菱 形的是 ( ) A. AC⊥BD B. AB=BC C. AC=BD D. ∠1=∠2 (第1题) (第2题) 2. 如图,有一线段AB,分别以点A,B 为圆心, 大于1 2AB 的长为半径画弧,两弧交于点C, D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法 错误的是 ( ) A. AB 平分∠CAD B. CD 平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 3. (2022·岳阳)如图,点E,F 分别在▱ABCD 的边AB,BC 上,AE=CF,连接DE,DF.给 出以下三个条件:① ∠1=∠2;② DE=DF; ③ ∠3=∠4.请从中选择一个合适的作为已 知条件,使▱ABCD 为菱形. (1) 你添加的条件是 (填序号). (2) 根据(1)中添加的条件,求证:▱ABCD 为菱形. (第3题) 4. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD, 下列作法错误的是 ( ) A. B. C. D. 5. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交 AB于点E,DF∥AB 交AC于点F,连接EF 交AD 于点O,则∠AOF 的度数为 ( ) A. 60° B. 90° C. 100° D. 110° (第5题) (第6题) 6. (2022·商丘夏邑期中)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 为斜边 AB 上一点,以CD,CB 为边作▱CDEB,当 AD= 时,▱CDEB 为菱形. 7. (2022·北京)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,点 E,F 在AC 上, AE=CF. (1) 求证:四边形EBFD 是平行四边形. (2) 若 ∠BAC = ∠DAC,求 证:四 边 形 EBFD 是菱形. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 第一章　特殊平行四边形 {#{QQABLQYAoggoAAAAAAgCQwXQCkKQkAACCAoGxBAEMAAAQQNABAA=}#} 8. (2022·宿州模拟)如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,E 是CD 上一点, BE 交AC 于点F,连接DF. (1) 求 证:∠BAC = ∠DAC,∠AFD = ∠CFE. (2) 若 AB∥CD,求证:四边形 ABCD 是 菱形. (3) 在(2)的条件下,试确定点E 的位置,使 ∠EFD=∠BCD,并说明理由. (第8题) 9. 如图①,P 是线段AB 上的一点,在 AB 的同侧作△APC 和△BPD,使 PC=PA,PD =PB,∠APC = ∠BPD,连接CD,E,F,G,H 分别是AC, AB,BD,CD 的中点,顺次连接EF,FG, GH,HE,EG,HF. (1) 猜想EG 与HF 的关系,并说明理由. (2) 如图②,当点P 在线段AB 的上方时,在 △APB 的外部作△APC 和△BPD,且其他 条件不变,(1)中的结论仍成立吗? 请说明 理由. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(北师版)九年级上 {#{QQABLQYAoggoAAAAAAgCQwXQCkKQkAACCAoGxBAEMAAAQQNABAA=}#} ∵ △AEF 是等边三角形, ∴ AE=EF. ∴ △CEF 的周长=CE+CF+EF= CE+BE+AE=BC+AE. 由“垂线段最短”,可知当等边三角形 AEF 的边AE 与BC 垂直时,边AE 最短,此时AE=AH