第二章 1 认识无理数-2023-2024学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第二章 实　数 1　认识无理数 ▶ “答案与解析”见P8 1. 体积为100的正方体的棱长是 ( ) A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 既不是分数也不是整数 2. 有下列数:π,-43 ,18,0.1010010001…(相 邻两个1之间0的个数逐次加1).其中,无理 数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 写一个大于-2小于-1的无理数: . 4. 在-56 ,+212 ,4.5,-17,0,227 ,π 2 ,5中,是整 数的有 ;是正分数的有 . 5. 如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的高, AB=6,BD=5,CD=2,AD 与AC 长度的 平方各是多少? AD,AC 的长度可能是整数 吗? 可能是分数吗? 可能是有理数吗? (第5题) 6. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. π 3 是分数 7. 如果等边三角形的边长为4,高为h,那么h 是一个 (填“有理数”或“无理数”), 它的 值 介 于 正 整 数 和 之间. 8. 如图所示为由5个边长均为1的小 正方形组成的图形,现在要把它剪 拼成一个正方形(无剩余). (1) 剪拼成的正方形的面积是多少? (2) 设剪拼成的正方形的边长为a(a>0), 则a应满足什么条件? (3) a是整数吗? 是分数吗? 是有理数吗? (4) 画出你剪拼成的正方形. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 第二章　实　数 {#{QQABBQaAggAAAABAAAhCQwGACEOQkAACCKoGBAAMMAAAwQNABAA=}#} 三、 17. 由题意,得△ABC 是直角三 角形. 在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4, BC=3,由勾股定理,得AC=5. 在△ACD 中,AC2 +CD2 =52 + 122=169,AD2=132=169, 所以AC2+CD2=AD2. 所以 △ACD 为 直 角 三 角 形,且 ∠ACD=90°. 所以S四边形ABCD =S△ABC +S△ACD = 1 2AB ·BC+12AC ·CD=12×4× 3+12×5×12=6+30=36. 18. 连接MA. 因为MD⊥AB, 所以在Rt△ADM 和Rt△BDM 中, AD2=AM2-MD2,BM2=BD2+ MD2. 因为∠C=90°, 所以在Rt△ACM 中,AM2=AC2+ CM2. 因为M 为BC的中点, 所以BM=CM. 所以CM2=BD2+MD2. 所以AM2=AC2+BD2+MD2. 所以 AD2=AC2+BD2+MD2- MD2,即AD2=AC2+BD2. 19. 如图,取CD 的中点E,连接BE, AE. 根据题意,可知△BCD 是等腰直角三 角形,△ACD 是等边三角形, 所以BC=BD,AC=CD=AD. 因为E 为CD 的中点, 所以BE⊥CD,AE⊥CD. 所以易得点 B,E,A 在同一条直 线上. 在Rt△BCD 中,CD2=BC2+BD2= 62+62=72(cm2),则CD≈8.48cm. 所以易得BE=CE=DE=12CD≈ 4.24cm. 在Rt△ACE 中,AE2=AC2-CE2= CD2-CE2, 所以易得AE≈7.35cm. 所以AE+BE=11.59cm. 所以这只蚂蚁爬行的最短距离约为 11.59cm. (第19题) 20. (1) 因为 AC=BC,PC 平 分 ∠ACB, 所以PA=PB,PC⊥AB. 在Rt△APC 中,AC2-PC2=PA2. 所以AC2-PC2=PA·PB. (2) 成立. 理由:如图,过点C作CH⊥AB,垂足 为H. 因为AC=BC,CH⊥AB, 所以AH=BH. 在Rt△AHC和Rt△PHC中,AC2= CH2+AH2,PC2=CH2+PH2. 所以 AC2-PC2=CH2+AH2- (CH2 +PH2)=AH2 -PH2 = (AH+PH)(AH-PH)=(AH+ PH)(BH-PH)=PA·PB. (第20题) 21. (1) 1 2 (n2-1);12 (